Binarne relacije - MT1102: Linearna algebra (Uvod u matematiku) - Poslovna informatika. Relacija ekvivalencije Dokazati relaciju ekvivalencije

Kažu da skup ima strog red. U pojmovima< , >imaju šire značenje: gore je bolje, ranije je kasnije itd. U teoriji skupova, primjer strogog reda je striktna inkluzija (biti podskup drugog skupa, a da mu nije jednak).

Naručeni setovi

Skup se zove linearno uređen, ako se bilo koji element može usporediti (to jest, recimo: veće od, manje od ili jednako).

Skup realnih ili cijelih brojeva: klasični primjeri uređenog skupa.

Ako je moguće uspostaviti odnos reda na skupu, ali ne za sve parove elemenata, tada se takav skup naziva djelomično naručeno.

Ovo je skup vektora, skup kompleksnih brojeva, skupovi u teoriji skupova. U nekim slučajevima možemo reći "više je manje" ili "biti nadskup i podskup", ali ne u svim slučajevima.

Aritmetiku ostatka najbolje je uvesti korištenjem odnosa ekvivalencije. Budući da će takvi odnosi igrati važnu ulogu u ovom poglavlju i izvan njega, vrijedi detaljno istražiti ovaj osnovni koncept.

Neka je X konačan ili beskonačan skup. Relacija na X je pravilo po kojem se njeni elementi "uspoređuju". Ovo je neformalna definicija, ali sasvim je dovoljna za naše potrebe. Imajte na umu da za definiranje odnosa moramo jasno definirati sam skup; drugim riječima, mora nam biti jasno koje elemente treba usporediti.

Pogledajmo nekoliko primjera. Na skupu cijelih brojeva postoje mnoge jednostavne relacije, kao što su "jednako", "nije jednako", "manje od", "manje od ili jednako". Na skupu obojenih kuglica imamo isti odnos boja. Posljednji primjer je zbog svoje specifičnosti dobar za pamćenje kao ogledni slučaj. Uzgred, pretpostavljamo da je svaka kuglica iz kompleta obojena samo jednom bojom; šarene kuglice ne uzimamo u obzir.

Relacija ekvivalencije vrlo je specifična vrsta relacije. Vraćajući se općim definicijama, pretpostavimo da je X skup u kojem je relacija definirana. Pogodno je fiksirati neki simbol za označavanje ekvivalentnosti; obično se koristi simbol “~”. Od sada će "~" biti relacija ekvivalencije,

ako su sljedeća svojstva zadovoljena za sve:

Prvo svojstvo naziva se refleksivnost. Kaže da kada imamo odnos ekvivalencije, svaki element je ekvivalentan samom sebi. Ovo svojstvo vrijedi za jednakost cijelih brojeva: svaki cijeli broj jednak je sam sebi. Ali ne vrijedi za relaciju Stoga na skupu nije relacija ekvivalencije.

Drugo svojstvo naziva se simetrija. Relacija na skupu cijelih brojeva nije simetrična. Doista, dok je nejednakost lažna. S druge strane, odnos nije refleksivan, ali nije ni simetričan.

Treće je svojstvo tranzitivnosti. Na skupu cijelih brojeva relacije "jednako", "manje od", "manje ili jednako" su tranzitivne. Ali "nije jednako" nema to svojstvo. Doista, ali ne slijedi iz ovih nejednakosti. Dodajmo da je simetrična, ali ne i refleksivna.

Pažljivo smo dali primjere odnosa koji ne zadovoljavaju ova svojstva, jer je to jedini način da shvatimo njihovo stvarno značenje. Upravo vladanje primjerima i protuprimjerima osigurava uspjeh u svladavanju novih pojmova. Ne nedostaje primjera odnosa ekvivalencije. Jednakost cijelih brojeva očito zadovoljava sva gore navedena svojstva. Odnos "iste boje" na skupu obojenih kuglica još je jedan jednostavan i možda najupečatljiviji primjer. Primjeri odnosa ekvivalencije na skupu poligona uključuju odnose kao što su "isti broj stranica" i "ista površina".

Odnos ekvivalencije koristi se za klasificiranje elemenata danog skupa, grupirajući ih u podskupove na temelju sličnosti svojstava. Prirodna podjela skupa inducirana relacijom ekvivalencije naziva se podjela na klase ekvivalencije. Neka je relacija ekvivalencije određena na skupu X i neka je x element tog skupa. Klasa ekvivalencije elementa x je podskup u X koji se sastoji od svih elemenata ekvivalentnih x u odnosu na. Označavajući klasu ekvivalencije elementa x simbolom x, možemo napisati:

Navedimo jednostavan primjer. Označimo s M skup obojenih kuglica s relacijom ekvivalencije “iste boje”. Klasa ekvivalencije crvene kuglice u M sastoji se od svih crvenih kuglica sadržanih u M.

Jedno od svojstava klasa ekvivalencije je toliko važno da ćemo ga nazvati osnovnim principom klasa ekvivalencije. Načelo kaže da je svaki element klase ekvivalencije dobar predstavnik cijele klase. Drugim riječima, poznavajući jedan element iz klase ekvivalencije, možete odmah vratiti ovu klasu u potpunosti. Ova činjenica je upečatljiva kada imamo posla sa skupom M obojenih kuglica i relacijom “iste boje”. Pretpostavimo da vam je rečeno da kartonska kutija sadrži sve elemente jedne klase ekvivalencije skupa M. Kad vidite jedan element iz tog skupa (recimo da je to plava kuglica), odmah zaključujete da kutija sadrži klasu ekvivalencije svih plavih lopte M. Bilo bi jednostavnije ne može!

Vratimo se apstraktnom skupu X s relacijom ekvivalencije. Osnovni princip kaže da ako je y element iz klase ekvivalencije od x, onda se klase ekvivalencije od x i y podudaraju. Ista stvar se može ukratko izraziti:

Dokažimo to izravno iz definirajućih svojstava relacije ekvivalencije. Ako tada, po definiciji klase ekvivalencije, Zbog simetrije, Ali ako tada i Tada svojstvo tranzitivnosti implicira Dokazali smo uključivanje: . Slično razmišljanje dokazuje suprotno uključivanje: sve ovo može izgledati pomalo pedantno. Ali osnovno je načelo toliki izvor zabune i pogrešaka da ne bismo trebali štedjeti truda da razjasnimo njegovo točno značenje. Štoviše, korisno je shvatiti da to izravno slijedi iz definicije relacije ekvivalencije. Kad smo već kod pedanterije: jeste li shvatili da vlasništvo proizlazi iz refleksivnosti?

Osnovni princip vodi do najvažnijeg svojstva relacije ekvivalencije. Kao i prije, neka je X tada skup s relacijom ekvivalencije

(1) X je unija svojih klasa ekvivalencije u odnosu na i

(2) dvije različite klase ekvivalencije ne mogu imati zajednički element.

Prva izjava proizlazi iz često spominjane činjenice: klasa ekvivalencije elementa sadrži sam taj element. Da dokažemo drugo, pretpostavimo da su elementi Od tada prema osnovnom principu Slično tako da y. Imajte na umu da svojstva (1) i (2) znače da je skup X podijeljen na disjunktne podskupove, klase ekvivalencije. Drugim riječima, imamo posla s podjelom skupa

Skup sastavljen od klasa ekvivalencije skupa X s obzirom na relaciju ekvivalencije ima poseban naziv: kvocijentni skup X s obzirom na relaciju Imajte na umu da su elementi kvocijentnog skupa podskupovi u. Stoga kvocijentni skup nije podskup od X, budi oprezan!

Završimo ovaj odjeljak primjerom koji konačno otkriva pravu prirodu razlomaka. Od čega se sastoji razlomak? Kad ga pogledate, vidite dva broja od kojih jedan (nazivnik) mora biti različit od nule. Naravno, vjerojatno ga doživljavate privatnim. Ali ako pritisnete, možete pokušati odabrati lakši način i reći da je razlomak zapravo par brojeva od kojih jedan nije nula. Međutim, ova definicija je netočna.

U matematici su dva para jednaka ako imaju isti prvi i drugi element. Dakle, parovi (2,4) i (1,2) su nejednaki. Ali razlomci 2/4 i 1/2 su jednaki; tako da razlomci nisu parovi brojeva.

Što su razlomci? To su elementi skupa faktora! Razmotrimo skup parova cijelih brojeva U standardnom žargonu, dva para cijelih brojeva se sada mogu nazvati ekvivalentnima ako je Lako provjeriti da je to relacija ekvivalencije, a razlomak je klasa ekvivalencije skupa u odnosu na tu relaciju. . Prema tome, ne znači par nego beskonačan skup svih parova ekvivalentnih, dakle, skup racionalnih brojeva je kvocijent skupa prema upravo definiranoj relaciji ekvivalencije.

Zamislite na trenutak da još uvijek niste čuli ništa o razlomcima i da ćete morati nastaviti s gornjim opisom. Ako vam sada kažu da morate računati s razlomcima, osjećat ćete da imate dobar razlog za paniku: upravo ste naučili da je razlomak beskonačan skup. Pomisao da se jednom beskonačnom mnoštvu doda još jedno beskonačno mnoštvo izaziva blagu tjeskobu. Upravo u ovom trenutku u pomoć dolazi osnovni princip. Ne morate brinuti o teretu svog beskonačnog mnoštva; trebate znati samo jedan njegov element. Ovaj element će vam sve to reći

morate znati o cijeloj klasi ekvivalencije. Štoviše, bit ćete zadovoljni bilo kojim elementom klase.

Dakle, možete raditi s 1/2 kao i obično, baš kao da se radi o paru brojeva. Sjećate se da je razlomak klasa ekvivalencije samo kada se (u procesu računanja) pokaže da se razlomak može reducirati. U ovom trenutku zamjenjujete jednog predstavnika klase ekvivalencije drugim kako biste pojednostavili izračune.

Zašto smo napravili tako dugu digresiju o razlomcima? Sljedeći odjeljak definirat će relaciju ekvivalencije na skupu, a kvocijentni skup ove relacije igra apsolutno temeljnu ulogu u ovoj knjizi. Kao i u slučaju razlomaka, klase ekvivalencije bit će beskonačne i s njima ćemo morati računati. Ali sada znate da nema razloga za brigu.

Povezane definicije

Skup svih klasa ekvivalencije označava se s .

Primjeri odnosa ekvivalencije

Složeniji primjer, ali apsolutno vitalan:

Kada vam liječnik propisuje lijek, on zapravo u receptu označava klasu ekvivalentnih lijekova, ne može naznačiti potpuno određeni primjerak pakiranja tableta ili ampula. one. Sve vrste lijekova podijeljene su u klase prema odnosima ekvivalencije. Da nije bilo te činjenice, moderna medicina jednostavno ne bi bila moguća.

Dakle, sve vrste recepata za salate i koktele, GOST-ovi i klasifikatori također određuju vitalne odnose ekvivalencije. Odnosi ekvivalencije ispunjavaju cijeli naš život i nisu apstraktna zabava za matematičare.

Faktorizacija preslikavanja

Skup klasa ekvivalencije koji odgovara relaciji ekvivalencije označava se simbolom i naziva se skup faktora relativno . Štoviše, surjektivno preslikavanje

nazvao prirodni prikaz(ili kanonska projekcija) faktorskom skupu .

Neka su , skupovi, preslikavanje, zatim binarna relacija definirana pravilom

je relacija ekvivalencije na . U ovom slučaju, preslikavanje inducira preslikavanje definirano pravilom

ili, što je isto,

U ovom slučaju ispada faktorizacija preslikavanja u surjektivna preslikavanja i injektivna preslikavanja.

Faktorizacija mapiranja široko se koristi u humanističkim znanostima iu onim područjima tehnologije gdje nije moguće koristiti numeričke vrijednosti. Preslikavanje faktorizacije omogućuje vam da radite bez formula tamo gdje se formule ne mogu koristiti. Navedimo primjer koji će svima biti razumljiv i ne zahtijeva razumijevanje složene matematičke simbolike.

Školski raspored je tipičan primjer faktorizacije. U ovom slučaju, skup svih učenika škole, skup svih akademskih predmeta, odvojenih po danima u tjednu, navodeći vrijeme nastave. Ekvivalentni razredi su razredi (skupine učenika). Prikaz – raspored nastave prikazan u dnevnicima učenika. Prikaz – raspored sati istaknut u holu škole. Ovdje se nalazi i prikaz - popisi razreda. Ovaj primjer vrlo jasno pokazuje praktične prednosti faktorizacije: nemoguće je zamisliti raspored sati kao tablicu koja odražava sve učenike škole pojedinačno. Faktorizacija je omogućila prikaz informacija koje učenici trebaju u kompaktnom obliku pogodnom za korištenje u situacijama u kojima se formule ne mogu primijeniti.

Međutim, prednosti faktorizacije nisu ograničene na ovo. Faktorizacija je omogućila podjelu rada između sudionika aktivnosti: ravnatelj sastavlja raspored, a učenici ga zapisuju u svoje dnevnike. Slično tome, faktorizacija recepata omogućila je podjelu rada između liječnika, koji postavlja dijagnozu i piše recept, i ljekarnika, koji osigurava istovjetnost propisanih lijekova. Apoteoza faktorizacije je pokretna traka koja standardizacijom dijelova ostvaruje maksimalnu podjelu rada.

Ali prednosti faktorizacije nisu ograničene na ovo. Faktorizacija je omogućila osiguranje modularnosti moderne tehnologije, što joj daje neviđenu fleksibilnost funkcija. Možete zadržati svoju staru SIM karticu i kupiti potpuno novi telefon uz nju ili umetnuti novu video memoriju u svoje staro računalo. Sve je to fleksibilnost, modularnost koja se temelji na faktorizaciji.

Književnost

• A. I. Kostrikin, Uvod u algebru. M.: Nauka, 1977, 47-51.
• A. I. Malcev, Algebarski sustavi, M.: Nauka, 1970, 23-30.
• V. V. Ivanov,Matematička analiza. NSU, ​​2009.

Vidi također

• Odnos tolerancije je oslabljeni oblik ekvivalencije.
• Ekvivalencija je logična operacija.

Zaklada Wikimedia.

• 2010.
• Bolnička upala pluća

Mitel

Pogledajte što je "odnos ekvivalencije" u drugim rječnicima: odnos ekvivalencije - - Telekomunikacijske teme, osnovni pojmovi EN odnos ekvivalencije...

Vodič za tehničke prevoditelje- odnos ekvivalencije, koncept logike i matematike, koji izražava činjenicu prisutnosti istih znakova (svojstava) u različitim objektima. S obzirom na takve zajedničke karakteristike, ovi različiti objekti se ne razlikuju (identični, jednaki,... ...

Stav tolerancije- Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Tolerancija. Relacija tolerancije (ili jednostavno tolerancija) na skupu je binarna relacija koja zadovoljava svojstva refleksivnosti i simetrije, ali ne nužno... ... Wikipedia

Omjer (matematika)- Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi stav. Relacija je matematička struktura koja formalno definira svojstva različitih objekata i njihove odnose. Odnosi se obično klasificiraju prema broju objekata koji se povezuju... Wikipedia

STAV- u logici, nešto što, za razliku od svojstva, ne karakterizira zasebni predmet, već par, tri itd. stavke. Tradicionalna logika nije uzimala u obzir O.; u modernoj logici O. iskazna je funkcija dviju ili više varijabli. Binarni... Filozofska enciklopedija

Odnos preferencija- u teoriji potrošača, ovo je formalni opis potrošačeve sposobnosti da usporedi (poredi po poželjnosti) različite skupove dobara (potrošačke setove). Da bi se opisao odnos preferencija, nije potrebno mjeriti poželjnost... ... Wikipedia

Stav (filozofski)- Stav, filozofska kategorija koja izražava prirodu rasporeda elemenata određenog sustava i njihovu međuovisnost; emocionalno-voljni stav osobe prema nečemu, tj. izraz njenog stava; mentalna usporedba raznih predmeta... ... Velika sovjetska enciklopedija

stav- ODNOS je skup uređenih n ok jedinki (gdje je n 1), tj. dvojke, trojke itd. Broj n naziva se “lokalnost”, ili “arnost”, O. i, prema tome, govore o n lokalnih (n arno) O. Tako se, na primjer, dvostruko O. naziva... ... Enciklopedija epistemologije i filozofije znanosti

Stav- I Stav je filozofska kategorija koja izražava prirodu rasporeda elemenata određenog sustava i njihovu međuovisnost; emocionalno-voljni stav osobe prema nečemu, tj. izraz njenog stava; mentalna usporedba različitih... ... Velika sovjetska enciklopedija

Klasa ekvivalencije- Relacija ekvivalencije () na skupu X je binarna relacija za koju su ispunjeni sljedeći uvjeti: Refleksivnost: za bilo koji a u X, Simetrija: ako, onda, Tranzitivnost: ako... Wikipedia

knjige

• Donošenje financijskih odluka u uvjetima komparativne neizvjesnosti: Monografija, Bayuk O.A.. U monografiji je razvijena i teorijski utemeljena nova logična strategija odlučivanja pri izboru između neusporedivih objekata, uspostavljajući poseban odnos preferencija i...

Predavanje 22. Relacije ekvivalencije i reda na skupu

1. Relacija ekvivalencije. Veza između relacije ekvivalencije i podjele skupa na klase.

2. Odnos reda. Relacije strogog i nestriktnog reda, linearne relacije reda. Naručivanje kompleta.

3. Glavni zaključci

Pogledajmo skup razlomaka X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) relacija jednakosti. Ovaj odnos:

Refleksno, budući da je svaki razlomak jednak sam sebi;

Simetrično, jer iz činjenice da je razlomak m/n jednaka razlomku str/q, slijedi da je razlomak str/q jednaka razlomku m/n;

Tranzitivan, jer iz činjenice da razlomak m/n jednaka razlomku str/q i razlomak str/q jednaka razlomku r/s, slijedi da je razlomak m/n jednaka razlomku r/s.

Za relaciju jednakosti razlomaka kaže se da je odnos ekvivalencije.

Definicija. Relacija R na skupu X naziva se relacija ekvivalencije ako istovremeno ima svojstva refleksivnosti, simetričnosti i tranzitivnosti.

Primjeri relacija ekvivalencije su relacije jednakosti geometrijskih figura, relacija paralelnosti pravaca (pod uvjetom da se paralelni pravci smatraju paralelnima).

Zašto se ovaj tip odnosa izdvaja u matematici? Promotrimo relaciju jednakosti razlomaka definiranih na skupu X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (Slika 106). Vidimo da je skup podijeljen u tri podskupa: (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4). Ovi podskupovi se ne sijeku, a njihova unija koincidira sa skupom X, one. imamo particiju skupa X na nastavu. Ovo nije slučajno.

Uopće, ako je relacija ekvivalencije dana na skupu X, tada ona generira particiju tog skupa na disjunktne podskupove (klase ekvivalencije).

Dakle, utvrdili smo da relacija jednakosti na skupu razlomaka (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) odgovara podjeli tog skupa na klase ekvivalencije , od kojih se svaki međusobno sastoji od jednakih frakcija.

Vrijedi i obrnuto: ako bilo koja relacija definirana na skupu X generira particiju tog skupa u klase, tada je to relacija ekvivalencije.

Uzmimo, na primjer, na setu X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) odnos "imati isti ostatak kada se podijeli s 3." Generira particiju skupa X u razrede: jedan će uključiti sve brojeve koji kada se dijele s 3 ostavljaju ostatak 0 (to su brojevi 3, 6, 9), drugi - brojeve koji kada dijele s 3 ostavljaju ostatak 1 (to su brojevi 1, 4) , 7 , 10), au trećem - svi brojevi, kada se podijeli s 3 ostatak je 2 (to su brojevi 2, 5, 8). Doista, dobiveni podskupovi se ne sijeku i njihova unija koincidira sa skupom X. Posljedično, relacija "imati isti ostatak kada se podijeli s 3" definirana na skupu X, je relacija ekvivalencije. Primijetite da tvrdnja o odnosu između relacije ekvivalencije i podjele skupa na klase treba dokazati. Spuštamo ga. Recimo samo da ako relacija ekvivalencije ima ime, tada se odgovarajuće ime daje klasama. Na primjer, ako je relacija jednakosti navedena na skupu segmenata (a to je relacija ekvivalencije), tada se skup segmenata dijeli na klase jednakih segmenata (vidi sliku 99). Relacija sličnosti odgovara podjeli skupa trokuta na klase sličnih trokuta.

Dakle, imajući relaciju ekvivalencije na određenom skupu, možemo taj skup podijeliti u klase. Ali možete učiniti i suprotno: prvo podijeliti skup u klase, a zatim definirati relaciju ekvivalencije, smatrajući da su dva elementa ekvivalentna ako i samo ako pripadaju istoj klasi dotične particije.

Načelo podjele skupa na klase korištenjem neke relacije ekvivalencije važno je načelo matematike. Zašto?

Prvo, ekvivalent - to znači ekvivalentan, zamjenjiv. Stoga su elementi iste klase ekvivalencije međusobno zamjenjivi. Dakle, razlomci koji se nalaze u istom razredu ekvivalencije (1/2, 2/4, 3/6) ne razlikuju se sa stajališta relacije jednakosti, a razlomak 3/6 može se zamijeniti drugim, npr. 1 /2. I ova zamjena neće promijeniti rezultat izračuna.

Drugo, budući da u klasi ekvivalencije postoje elementi koji se ne razlikuju sa stajališta neke relacije, smatramo da je klasa ekvivalencije određena bilo kojim od njezinih predstavnika, tj. proizvoljan element ove klase. Dakle, bilo koja klasa jednakih razlomaka može se specificirati specificiranjem bilo kojeg razlomka koji pripada ovoj klasi. Određivanje klase ekvivalencije po jednom predstavniku omogućuje, umjesto svih elemenata skupa, proučavanje zbirke pojedinačnih predstavnika iz klasa ekvivalencije. Na primjer, odnos ekvivalencije "imati isti broj vrhova", definiran na skupu poligona, generira particiju tog skupa u klase trokuta, četverokuta, peterokuta itd. Svojstva svojstvena određenoj klasi razmatraju se na jednom od njenih predstavnika.

Treće, podjela skupa na klase pomoću odnosa ekvivalencije koristi se za uvođenje novih koncepata. Na primjer, koncept "snopa linija" može se definirati kao ono što je zajedničko linijama koje su međusobno paralelne.

Općenito, svaki koncept s kojim osoba operira predstavlja određenu klasu ekvivalencije. "Stol", "kuća", "knjiga" - svi ovi koncepti su generalizirane ideje o mnogim specifičnim predmetima koji imaju istu svrhu.

Druga važna vrsta odnosa je odnosi reda.

Definicija. Relacija R na skupu X naziva se relacija reda ako istovremeno ima svojstva antisimetrije i tranzitivnosti. .

Primjeri odnosa reda uključuju: odnos "manje od" na skupu prirodnih brojeva; relacija je “kraća” na skupu segmenata, jer su antisimetrični i tranzitivni.

Ako relacija reda također ima svojstvo povezanosti, onda se kaže da je relacija linearni poredak.

Na primjer, relacija “manje od” na skupu prirodnih brojeva je relacija linearnog reda, jer ima svojstva antisimetrije, tranzitivnosti i povezanosti.

Definicija. Skup X se naziva uređenim ako ima relaciju reda.

Dakle, skup N prirodnih brojeva može se poredati specificiranjem relacije "manje od" na njemu.

Ako je relacija reda definirana na skupu X, ima svojstvo povezanosti, onda to kažemo linearno naređuje mnogi X.

Na primjer, skup prirodnih brojeva može se poredati koristeći i relaciju "manje od" i relaciju "višestruko" - obje su relacije reda. Ali relacija “manje od” za razliku od relacije “višestruko” također ima svojstvo povezanosti. To znači da relacija "manje od" linearno sređuje skup prirodnih brojeva.

Ne treba misliti da se svi odnosi dijele na odnose ekvivalencije i odnose reda. Postoji ogroman broj relacija koje nisu niti relacije ekvivalencije niti relacije reda.

U mnogim računalnim problemima veliki skupovi se uzimaju i dijele na takav način da se sve situacije koje nas zanimaju mogu proučavati pomoću nekoliko dobro odabranih primjera.

Definicija 1: Neka A ¹ Æ i (A i ),i= kolekcija podskupova takva da je A= . Zatim se poziva zbirka tih podskupova premazani postavlja A.

Na primjer, (A, B) je pokrivanje AÈB; (A, AÈB, B, C)-pokrivanje AÈBÈC.

Komentar: U općem slučaju pokrivenost može biti beskonačna. Međutim, sa stajališta proučavanja specifičnih svojstava, ova situacija ne izaziva entuzijazam.

Definicija 2: Cijepanjem nepraznog skupa A nazivamo njegovim pokrivanjem tako da ako je i¹ j, tada je A i ÇA j =Æ.

Na primjer, (A, A’) je particija U.

(AÇB, AÇB’, A’ÇB, A’ÇB’) – pregrada U,

(A\B, AÇB, B\A) – pregrada AÈB.

Možete organizirati particiju nepraznog skupa koristeći relacije koje se ponašaju kao relacije jednakosti na skupu brojeva ili skupova.

Definicija 3: Binarna relacija na skupu naziva se odnos ekvivalencije, ako je refleksivan, simetričan i tranzitivan.

Primjeri:

1. Na skupu svih trokuta: ((x, y)| x i y imaju istu površinu)

2. Na skupu svih programa: ((a, b)| a, b izračunati istu funkciju na određenom stroju)

Definicija 4: Neka je R relacija ekvivalencije na skupu A i xOA. Klasa ekvivalencije koju generira x naziva se skup (y| xR y)=[x] R.

Definicija 5: Poziva se bilo koji element klase ekvivalencije predstavnik ovaj razred. Puni sustav predstavnika poziva se skup predstavnika, po jedan iz svakog razreda.

Primjer 3:

N su prirodni brojevi, s je fiksni element. Na Z relacija je definirana: r s = ((x, y)| x-y=ns, nO Z). Stav usporedbe modulo s (oznaka: xºy(mod s)).

Lako je provjeriti da je relacija usporedbe modulo s relacija ekvivalencije na skupu Z.

Neka je npr. s=10. Zatim:

= {11,21,-9,10 976 631,.... }

= {66,226,-24,... }

Zapravo, postoji samo 10 klasa ekvivalencije za ovu relaciju, a brojevi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tvore puni sustav predstavnika. Klase ekvivalencije temeljene na ovoj relaciji ekvivalencije nazivaju se klase odbitaka modulo s.

Definicija 6: Skup faktora skupa A s obzirom na relaciju ekvivalencije R naziva se skup svih klasa ekvivalencije s obzirom na tu relaciju i označava se A/R.

Skup klasa ostataka po modulu s označen je sa Z s.

Odvija se

Teorem (o particioniranju): Neka je R relacija ekvivalencije na nepraznom skupu A. Tada je kvocijentni skup A/R particija skupa A.

Dokaz:

"xOA(xO[x] R). Moramo dokazati da svaki element skupa A pripada točno jednoj klasi. To jest, dokazujemo da ako klase imaju barem jedan zajednički element, onda se podudaraju. Neka cO[a] i cO [b]. Neka je x R a, a R c, c R b Þ x R b (tranzitivnost R). a].

Q.E.D.

Vrijedi i obrnuto. Neka je S particija skupa A i R s binarna relacija na A, takva da: R=((x,y)ïx i y pripadaju istom elementu particije), tada ćemo R nazvati – odnos određen pregradom S.

Teorema (naličje): Odnos R na A, definiran particijom od S, je odnos ekvivalencije na A, i A/R s = S. (neovisno)

Vježbe:

1. Neka je A konačan skup. Koji odnosi ekvivalencije daju najveći i najmanji broj klasa ekvivalencije.

2. Ako je (A 1 , A 2 , ..., A n ) particija od A i A konačna, tada je .

Odnos reda.

Iz pojma jednakosti (na primjer, brojeva) proizlazi matematički pojam ekvivalencije. A iz koncepta nejednakosti proizlazi još jedna vrsta odnosa, koja se naziva odnosima reda.

Definicija 1: Djelomična narudžba na skupu A je binarna relacija koja je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.

Djelomični poredak je generalizacija odnosa £ prema R. Možemo uvesti koncept strogi red , što odgovara odnosu< на R. Отношение строгого порядка - только транзитивно(оно еще и антирефлексивно).

Ako je dano £, tada možemo definirati<: a

Skup na kojem je zadana relacija reda označit ćemo sa