1 os simetrije. Osi simetrije

Računalna prezentacija za sat matematike na temu "Aksijalna simetrija", 6. razred.

Učiteljica matematike: Priyma T.B.

Općinska obrazovna ustanova srednja škola br. 4 s produbljenim proučavanjem pojedinih predmeta

Batajsk

• Uvod.
• Oni veliki o simetriji.
• Osna simetrija.
• Simetrija u prirodi.
• Tajanstvene snježne pahulje.
• Ljudska simetrija.
• Zaključak.

Simetrija je ideja kojom je čovjek stoljećima pokušavao objasniti i stvoriti red, ljepotu i savršenstvo.

UVOD

Načela simetrije igraju važnu ulogu u fizici i matematici, kemiji i biologiji, tehnologiji i arhitekturi, slikarstvu i kiparstvu, poeziji i glazbi.

Zakoni prirode koji upravljaju neiscrpnom slikom pojava u njihovoj raznolikosti, pak, također se pokoravaju načelima simetrije.

NAJVEĆE O SIMETRIJI…

• Termin "simetrija" izumio kipar Pitagora iz Rhegiuma .
• Prahistorijski Grci vjerovali da je svemir simetričan jednostavno zato što je lijep.
• Stvorio prvu znanstvenu školu u ljudskoj povijesti Pitagora sa Samosa .
• “Simetrija je neka vrsta “prosječne mjere” - vjeruje se Aristotel .
• rimski liječnik Galen(2. stoljeće nove ere) simetrija je značila duševni mir i ravnotežu.

Pitagora sa Samosa

Aristotel

Galen

• Leonardo da Vinci vjerovao da glavnu ulogu u slici igraju proporcionalnost i sklad, koji su usko povezani simetrijom.
• Albrecht Durer(1471.-1528.) tvrdio je da bi svaki umjetnik trebao znati konstruirati ispravne simetrične figure.

Definicija

Pojam "simetrija"(od grčke Symmetria) - proporcionalnost, proporcionalnost, ujednačenost u rasporedu dijelova.

Simetrija u širem smislu– nepromjenjivost strukture materijalnog objekta u odnosu na njegove transformacije.

Simetrija igra veliku ulogu u umjetnosti i arhitekturi. Ali to se vidi i u glazbi i u poeziji. Simetrija je široko prisutna u prirodi, posebno u kristalima, biljkama i životinjama.

Simetrija se također može naći u drugim područjima matematike, na primjer, kod konstruiranja grafova funkcija.

Osna simetrija

Dvije točke koje leže na istoj okomici na dani pravac sa suprotnih strana i na istoj udaljenosti od njega nazivamo simetričnima u odnosu na dani pravac.

A

Za lik se kaže da je simetričan u odnosu na ravnu liniju a ,

ako za svaku točku figure postoji točka koja joj je simetrična u odnosu na ravnu crtu A također pripada ovoj figuri.

Likovi s jednom osi simetrije

Kutak

Jednakokračan

trokut

Jednakokračni trapez

Likovi s dvije osi simetrije

Pravokutnik

Romb

Likovi koji imaju više od dvije osi simetrije

Kvadrat

Jednakostraničan trokut

Krug

Figure koje nemaju osnu simetriju

Slobodni trokut

Paralelogram

Nepravilni poligon

• točka simetrična ovome
• segment simetričan ovome
• trokut simetričan ovome

Simetrija u prirodi

Pažljivo promatranje pokazuje da osnova ljepote mnogih oblika koje je priroda stvorila je simetrija .

Tajanstvene snježne pahulje

S neba pada sitna zrna, lete oko lampiona u ogromnim pahuljastim pahuljicama,

stoji kao stup na mjesečini s ledenim iglicama. Čini se, kakva glupost! Samo smrznuta voda.

… ali koliko se pitanja javlja u osobi koja gleda snježne pahulje.

Ljudska simetrija

Ljepota ljudskog tijela određena je proporcionalnošću i simetrijom.

Međutim, ljudska figura može biti asimetrična.

Struktura ljudskih unutarnjih organa nije simetrična.

ZAKLJUČAK

Priroda, u svojim različitim kreacijama, naizgled vrlo udaljenim jedna od druge, može koristiti iste principe.

I čovjek u svojim kreacijama: slikarstvu, kiparstvu, arhitekturi...

Temeljni principi ljepote su proporcije i simetrija.

Simetrija je povezana sa skladom i redom. I to s dobrim razlogom. Jer na pitanje što je simetrija postoji odgovor u obliku doslovnog prijevoda sa starogrčkog. A ispada da to znači proporcionalnost i nepromjenjivost. A što bi moglo biti urednije od stroge definicije lokacije? A što se može nazvati skladnijim od nečega što strogo odgovara veličini?

Što simetrija znači u različitim znanostima?

Biologija. Važna komponenta simetrije u njemu je da životinje i biljke imaju pravilno raspoređene dijelove. Štoviše, u ovoj znanosti ne postoji stroga simetrija. Uvijek postoji neka asimetrija. Priznaje da se dijelovi cjeline ne poklapaju s apsolutnom preciznošću.

Kemija. Molekule tvari imaju određeni obrazac u svom rasporedu. Njihova simetrija objašnjava mnoga svojstva materijala u kristalografiji i drugim granama kemije.

Fizika. Sustav tijela i promjene u njemu opisuju se jednadžbama. Sadrže simetrične komponente, što pojednostavljuje cjelokupno rješenje. To se postiže traženjem sačuvanih količina.

Matematika. To je ono što u osnovi objašnjava što je simetrija. Štoviše, pridaje mu se veća važnost u geometriji. Ovdje je simetrija sposobnost prikazivanja u figurama i tijelima. U užem smislu, svodi se jednostavno na zrcalnu sliku.

Kako različiti rječnici definiraju simetriju?

Bez obzira koju od njih pogledamo, riječ "proporcionalnost" pojavit će se posvuda. Kod Dahla se također može vidjeti takvo tumačenje kao uniformnost i jednakost. Drugim riječima, simetrično znači isto. Kaže i da je dosadan; nešto što ga nema izgleda zanimljivije.

Na pitanje što je simetrija, Ozhegovljev rječnik već govori o istovjetnosti u položaju dijelova u odnosu na točku, liniju ili ravninu.

Ušakovljev rječnik također spominje proporcionalnost, kao i potpunu korespondenciju dva dijela cjeline jedan s drugim.

Kada govorimo o asimetriji?

Prefiks "a" negira značenje glavne imenice. Stoga asimetrija znači da raspored elemenata ne odgovara određenom uzorku. U njemu nema nepromjenjivosti.

Ovaj izraz se koristi u situacijama kada dvije polovice predmeta nisu potpuno identične. Najčešće nisu nimalo slični.

U živoj prirodi asimetrija igra važnu ulogu. Štoviše, može biti i koristan i štetan. Na primjer, srce se nalazi u lijevoj polovici prsa. Zbog toga je lijevo plućno krilo znatno manje veličine. Ali potrebno je.

O središnjoj i osnoj simetriji

U matematici se razlikuju sljedeće vrste:

• središnji, to jest, napravljen u odnosu na jednu točku;
• aksijalni, koji se promatra blizu ravne crte;
• zrcalno, temelji se na refleksijama;
• prijenosna simetrija.

Što je os i centar simetrije? Ovo je točka ili linija u odnosu na koju bilo koja točka na tijelu može pronaći drugu. Štoviše, tako da je udaljenost od izvorne do one koja je nastala podijeljena na pola s osi ili središtem simetrije. Dok se te točke kreću, one opisuju identične putanje.

Najlakši način da shvatite što je simetrija u odnosu na os je na primjeru. List bilježnice treba presavinuti na pola. Linija savijanja bit će os simetrije. Ako na nju povučete okomitu liniju, tada će sve točke na njoj imati točke koje leže na istoj udaljenosti s druge strane osi.

U situacijama kada je potrebno pronaći središte simetrije, morate postupiti na sljedeći način. Ako postoje dvije figure, pronađite njihove identične točke i povežite ih segmentom. Zatim podijelite na pola. Kada postoji samo jedna figura, poznavanje njezinih svojstava može pomoći. Često se to središte podudara s točkom sjecišta dijagonala ili visina.

Koji su oblici simetrični?

Geometrijski likovi mogu imati osnu ili središnju simetriju. Ali to nije neophodan uvjet, postoje mnogi objekti koji ga uopće ne posjeduju. Na primjer, paralelogram ima središnji, ali nema aksijalni. Ali nejednakokračni trapezi i trokuti nemaju nikakvu simetriju.

Ako se uzme u obzir središnja simetrija, postoji dosta figura koje je imaju. To su isječak i kružnica, paralelogram i svi pravilni mnogokuti čiji je broj stranica djeljiv s dva.

Središte simetrije segmenta (također kruga) je njegovo središte, a za paralelogram se poklapa sa sjecištem dijagonala. Dok se za pravilne poligone ova točka također poklapa sa središtem figure.

Ako se u liku može povući ravna linija, duž koje se može saviti, a dvije se polovice podudaraju, tada će ona (ravna crta) biti os simetrije. Zanimljivo je koliko osi simetrije imaju različiti oblici.

Na primjer, oštar ili tupi kut ima samo jednu os, a to je njegova simetrala.

Ako trebate pronaći os u jednakokračnom trokutu, tada morate nacrtati visinu do njegove baze. Pravac će biti os simetrije. I to samo jedan. A u jednakostraničnom će ih biti tri odjednom. Osim toga, trokut također ima središnju simetriju u odnosu na točku presjeka visina.

Krug može imati beskonačan broj osi simetrije. Bilo koja ravna crta koja prolazi kroz središte može ispuniti ovu ulogu.

Pravokutnik i romb imaju dvije osi simetrije. U prvom prolaze sredinama stranica, au drugom se podudaraju s dijagonalama.

Kvadrat kombinira prethodne dvije figure i ima 4 osi simetrije odjednom. Isti su kao kod romba i pravokutnika.

Klasa: 1

Svrha lekcije: stvoriti uvjete za formiranje ideja učenika o likovima koji imaju jednu ili više osi simetrije.

Ciljevi lekcije:

• naučiti na praktičan način provjeriti ima li zadani lik os simetrije,
• vježbanje računalnih vještina,
• razvoj logičkog mišljenja,
• razvijanje sposobnosti kontrole i samokontrole učenika.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Zazvonilo je i nastava je počela. Ja ću ti se nasmiješiti, a ti ćeš se nasmiješiti jedno drugom i pomisliti kako je dobro što smo danas svi zajedno. Mirni smo, ljubazni, prijateljski nastrojeni, dragi. Svi smo zdravi. Zaboravite na zamjerke. Udahnite u sebe svježinu proljetnog jutra, toplinu sunčevih zraka i čistoću rijeka. Želim vam dobro raspoloženje i pažljiv odnos jedni prema drugima.

2. Zagrijte um.

1) Matematički diktat.

Zbir brojeva 10 i 8.
Razlika između brojeva 16 i 7.
10 podijeljeno sa 2.
5 povećati za 6.
Smanjite 20 za 8.
Uzmite 2 4 puta.

Samotestiranje. Odgovori na ploči su: 18, 9, 5, 11, 12, 8.

2) Riješite primjere

(6+8) – 4; (12-7) +6; (5 ? 2) +8;
(6+8) – 10; (12 –6) +7; (6:3) ? 4.

3) Igrajmo sada igru ​​"Samo jedno svojstvo".

Cilj: učvrstiti znanje o svojstvima geometrijskih oblika, razviti logično razmišljanje.

Svaki učenik ima set geometrijskih oblika na svom stolu. Riječ je o 16 malih i 16 velikih geometrijskih oblika (krug, kvadrat, trokut, pravokutnik) četiri vrste i četiri boje.

Igra je izgrađena kao domino. Za pločom su 2 učenika. Jedna osoba stavlja bilo koju figuru na stol, druga mora staviti figuru koja se od nje razlikuje samo po jednom atributu. U slučaju netočnog poteza igraču se oduzima figura. Onaj tko ostane bez figura gubi.

4) Ponavljanje ravninskih i volumetrijskih likova.

Krug, kvadrat, pravokutnik, trokut. Koji su to geometrijski oblici? (planaran)

Imenovati trodimenzionalne figure. Koji se oblici nazivaju volumetrijskim?

(Kocka, stožac i sl.) Imenovati predmete koji imaju isti oblik.

3. Prijavite temu lekcije.

Danas ćemo naučiti na praktičan način provjeriti ima li zadani lik os simetrije, te dovršiti crtež simetričnog dijela tog lika.

4. Rad na temi lekcije.

1) Praktičan rad 1

Uzmite list papira i presavijte ga na pola. Dobro zagladite liniju savijanja i označite dvije točke na liniji savijanja. Bez otvaranja lista papira izrežite bilo koji uzorak kako ne biste rezali liniju savijanja na segmentu ograničenom ovim točkama. Poravnajte list papira. Koju ste brojku dobili? Vidite da su brojke koje se nalaze na različitim stranama linije savijanja potpuno iste - one će se podudarati ako se list ponovno presavije blizu ove linije. Odredite os simetrije.

Pogledajte predmete ili njihove dijelove u učionici. Označite koji od njih imaju jednu (ili više) osi simetrije.

2) Praktičan rad 2.

a) Dokažite savijanjem crteža po osi da crveni trokut ima jednu os simetrije, a žuti četverokut dvije.

(Savijanjem figure duž jedne ili druge osi, učenik će vidjeti da su dijelovi ove figure poravnati.)

b) Koliko osi simetrije ima kvadrat? Presavijte ga prvo duž jedne dijagonale, zatim duž druge, a zatim duž linija koje prolaze kroz sredine suprotnih strana.

(Učenici provjeravaju da kvadrat ima 4 osi simetrije)

c) Koliko osi simetrije ima peterokut?

(Ima 5 osi simetrije. Svaka od njih prolazi kroz njegov vrh i sredinu suprotne strane.

d) Koliko osi simetrije ima krug? Savijte ga duž jedne od osi.

e) rad u bilježnici br.4 str.55. Je li pravac na slici os simetrije pravokutnika?

3) Demonstracija crteža na velikim komadima whatman papira.

a) Koliko osi simetrije ima zvijezda? (5 osi simetrije)

b) Imenuj godišnja doba. Zatvorimo oči i zamislimo da šetamo kroz jesensku šumu, s raznobojnim tepihom pod nogama. Gledaj - crvena svjetiljka, podigneš je - to je bila jasika koja je ispustila list; a kraj ribnjaka slatka vrba razbacala zlatne ribice - lišće - usko, dugo, tanko; nadalje - žuta zvijezda - koju je dao javor. Uzmimo javorov list.

(Pokazuje jesenski javorov list)

Kažu da je javorov list simetričan - ima jednu os simetrije. Ako ga savijete duž ove osi, tada će se oba dijela lista podudarati. (Prikaži)

Navedi i druge biljke čiji listovi imaju os simetrije.

c) Posjetimo sada zimsku šumu. Zima... Svuda je bijelo. Zapuhao je vjetar i s neba su padale pahulje. Vrte se u zraku i padaju na zemlju – jedna je ljepša od druge! Evo cvijeta sa šest latica, Evo zvijezde sa šest zraka, Evo najtanje ploče sa šest strana! Tiho lete u tihom zraku iznad zemlje i padaju. Snježne pahulje lebde, njišu se, tražeći put do zemlje, dok ih nevidljivi zrak ometa. Lijepo je prošetati šumom po zimskom danu!

Pogledaj ovu pahuljicu.

Koliko osi simetrije ima pahulja na slici?

4) Tjelesno odgojna minuta

5) Rješavanje problema

a) Zagonetka.

Otvaram pupoljke u zelene listove.
Obrađujem drveće, zalijevam usjeve,
Pun pokreta
Moje ime je...(proljeće)

Sada je proljetno doba godine. Reci mi koji je sada mjesec.

U proljeće ljudi ne samo da se dive prirodi koja se budi, već u to vrijeme pokušavaju posaditi što više biljaka, grmlja i drveća.

Što su vuk i zec odlučili učiniti.

b) Pročitajte i riješite zadatak br.9 str.101.

Vuk i zec posadili su 8 grmova malina, 5 grmova ogrozda i ribizle. Ribiz - 1 grm manje od malina. Koliko grmova si posadio?

Rješenje se zapisuje u bilježnicu.

6) Dodavanje brojeva koji nedostaju

Vuk je zapisivao različite brojeve, a zec je ispod njih zapisivao svoj niz brojeva, slažući brojeve prema uzorku. Dovršite red zeca.

Vuk: 4 10 7 8 5 9.
Zec: 1 7 4.

7) Rad iz udžbenika

Imaju li predmeti prikazani na slici os simetrije?

8) Rad u bilježnici broj 1, broj 2 str.54

Rad s ogledalom.

Navedite druga slova ruske abecede čije slike imaju osi simetrije.

5. Sažetak lekcije.

Što ste radili na satu?

Kako provjeriti ima li zadana figura os simetrije?

Što je os simetrije? Ovo je skup točaka koje tvore ravnu crtu, što je osnova simetrije, odnosno ako se od ravne crte odvoji određena udaljenost s jedne strane, onda će se ona odraziti u drugom smjeru u istoj veličini . Os može biti bilo što - točka, ravna linija, ravnina i tako dalje. Ali bolje je govoriti o tome jasnim primjerima.

Simetrija

Da biste razumjeli što je os simetrije, morate se udubiti u samu definiciju simetrije. Ovo je korespondencija određenog fragmenta tijela u odnosu na bilo koju os, kada je njegova struktura nepromijenjena, a svojstva i oblik takvog objekta ostaju isti u odnosu na njegove transformacije. Možemo reći da je simetrija svojstvo tijela da se prikazuju. Kada fragment ne može imati takvu korespondenciju, to se naziva asimetrijom ili aritmijom.

Moglo bi vas zanimati:

Neke figure nemaju simetriju, zbog čega se nazivaju nepravilnim ili asimetričnim. Tu spadaju razni trapezi (osim jednakokračnih), trokuti (osim jednakokračnih i jednakostraničnih) i drugi.

Vrste simetrije

Također ćemo raspravljati o nekim vrstama simetrije kako bismo u potpunosti istražili ovaj koncept. Podijeljeni su ovako:

Aksijalni. Os simetrije je ravna linija koja prolazi središtem tijela. Kao ovo? Ako dijelove preklopite oko osi simetrije, oni će biti jednaki. To se može vidjeti na primjeru kugle.

Ogledalo. Os simetrije ovdje je ravna linija, u odnosu na koju se tijelo može reflektirati i dobiti inverznu sliku. Na primjer, krila leptira su zrcalno simetrična.

Središnji. Os simetrije je točka u središtu tijela, u odnosu na koju su, za sve transformacije, dijelovi tijela jednaki kada se superponiraju.

Povijest simetrije

Sam koncept simetrije često je polazište u teorijama i hipotezama znanstvenika iz davnih vremena, koji su bili uvjereni u matematički sklad svemira, kao iu očitovanje božanskog principa. Stari Grci su čvrsto vjerovali da je svemir simetričan, jer je simetrija veličanstvena. Čovjek je dugo koristio ideju simetrije u svom poznavanju slike svemira.

U 5. stoljeću prije Krista Pitagora je sferu smatrao najsavršenijim oblikom i smatrao da je Zemlja oblika sfere i da se giba na isti način. Također je vjerovao da se Zemlja kreće u obliku neke vrste “centralne vatre”, oko koje bi trebalo kružiti 6 planeta (u to vrijeme poznatih), Mjesec, Sunce i sve ostale zvijezde.

« Simetrija"u prijevodu s grčkog znači "proporcionalnost" (ponavljanje). Simetrična tijela i objekti sastoje se od ekvivalentnih dijelova koji se redovito ponavljaju u prostoru. Posebno je raznolika simetrija kristala. Različiti kristali imaju više ili manje simetrije. To je njihovo najvažnije i specifično svojstvo, koje odražava pravilnost unutarnje strukture.

Po preciznijoj definiciji simetrija- ovo je prirodno ponavljanje elemenata (ili dijelova) figure ili bilo kojeg tijela, u kojem se lik kombinira sam sa sobom pod određenim transformacijama (rotacija oko osi, refleksija u ravnini). Velika većina kristala ima simetriju.

Pojam simetrije uključuje njezine sastavne dijelove – elemente simetrije. Ovo uključuje ravnina simetrije, osi simetrije, centar simetrije, ili središte inverzije.

Ravnina simetrije dijeli kristal na dva zrcalna dijela. Označava se slovom P. Dijelovi na koje ravnina simetrije siječe poliedar međusobno su povezani, kao predmet prema svojoj slici u zrcalu. Različiti kristali imaju različit broj ravnina simetrije, koja se nalazi u ispred slova P. Najveći broj takvih ravnina u prirodnim kristalima je devet 9P . U kristalu sumpora postoji 3P, ali u gipsu postoji samo jedan. To znači da jedan kristal može imati nekoliko ravnina simetrije. U nekim kristalima ne postoji ravnina simetrije.

S obzirom na elemente ograničenja, ravnina simetrije može zauzeti sljedeći položaj:

1. prolazi kroz rebra;
2. leže okomito na rebra u njihovim središtima;
3. proći kroz rub okomito na njega;
4. sijeku kutove lica u svojim vrhovima.

U kristalima je moguć sljedeći broj ravnina simetrije: 9P, 7P, 6P, 5P, 4P, 3P, 2P, P, bez ravnine simetrije.

Os simetrije

Os simetrije- zamišljena os, kada se okrene oko koje za određeni kut, figura je poravnata sama sa sobom u prostoru. Označava se slovom L. U kristalima, pri rotaciji oko osi simetrije za puni okret, isti elementi ograničenja (lice, rubovi, kutovi) mogu se ponoviti samo 2, 3, 4, 6 puta. U skladu s tim, osi će se zvati osi simetrije drugog, trećeg, četvrtog i šestog reda i bit će označene: L2, L3, L4 i L6. Redoslijed osi određen je brojem poravnanja kada se okrene za 360⁰S.

Os simetrije prvog reda se ne uzima u obzir, jer je uopće ne posjeduju figure, uključujući asimetrične. Ispred slova L upisuje se broj osi istog reda: 6L6, 3L4 itd.

Središte simetrije

Središte simetrije- to je točka unutar kristala u kojoj se sijeku i raspolavljaju linije koje povezuju identične elemente granice kristala (lice, rubove, kutove). Označava se slovom C. U praksi će se prisutnost središta simetrije ogledati u činjenici da svaki brid poliedra ima brid paralelan sa samim sobom, svaka strana ima isto zrcalno inverzno lice paralelno sa samim sobom. Ako poliedar sadrži plohe koje nemaju paralelne plohe, tada takav poliedar nema središte simetrije.

Dovoljno je postaviti poliedar licem na stol da bi se uočilo postoji li na vrhu isto takvo zrcalno naličje paralelno s njim. Naravno, potrebno je provjeriti paralelnost svih vrsta lica.

Postoji niz jednostavnih obrazaca prema kojima se elementi simetrije međusobno kombiniraju. Značenje ovih pravila olakšava njihovo pronalaženje.

1. Pravac presjeka dviju ili više ravnina je os simetrije. Redoslijed takve osi jednak je broju ravnina koje se u njoj sijeku.
2. L6 može biti prisutan u kristalu samo u jednini.
3. Ni L4 ni L3 ne mogu se kombinirati s L6, ali L2 se mogu kombinirati, a L6 i L2 moraju biti okomiti; u ovom slučaju je prisutan 6L2.
4. L4 se može pojaviti u jednoj ili u tri međusobno okomite osi.
5. L3 se može pojaviti pojedinačno ili s 4L3.

Stupanj simetrije je ukupnost svih elemenata simetrije koje određeni kristal posjeduje.

Kristal u obliku kocke ima visok stupanj simetrije. Sadrži tri osi simetrije četvrtog reda (3L4) koje prolaze središtima stranica kocke, četiri osi simetrije trećeg reda (4L3) koje prolaze kroz vrhove trokutnih kutova i šest osi drugog reda (6L2) koje prolaze kroz sredine rubova. U sjecištu osi simetrije nalazi se središte simetrije kocke (C). Osim toga, u kocku se može ucrtati devet ravnina simetrije (9P). Elementi simetrije kristala mogu se prikazati kristalografskom formulom.

Za kocku formula je: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

Ruski znanstvenik A.V. Gadolin je 1869. pokazao da kristali imaju 32 različite kombinacije elemenata simetrije koji čine klase (tipove) simetrije. Dakle, klasa ujedinjuje skupinu kristala s istim stupnjem simetrije.