Pravila za izračunavanje izvedenica. Derivacija umnoška dviju funkcija Derivacija umnoška primjeri s rješenjem

Neka su funkcije u definirane u nekoj okolini točke i neka imaju izvodnice u točki. Tada njihov umnožak ima izvod u točki, koji je određen formulom:
(1) .

Dokaz

Uvedimo sljedeću oznaku:
;
.
Ovdje i su funkcije varijabli i . Ali radi lakšeg bilježenja, izostavit ćemo oznake njihovih argumenata.

Dalje primjećujemo da
;
.
Prema uvjetu, funkcije i imaju derivacije u točki, a to su sljedeće granice:
;
.
Iz postojanja izvodnica slijedi da su funkcije i neprekidne u točki. Zato
;
.

Promotrimo funkciju y varijable x, koja je umnožak funkcija i:
.
Razmotrimo prirast ove funkcije u točki:



.
Sada nalazimo izvod:


.

Tako,
.
Pravilo je dokazano.

Umjesto varijable možete koristiti bilo koju drugu varijablu. Označimo to kao x. Tada ako postoje derivacije i , tada je derivacija umnoška dviju funkcija određena formulom:
.
Ili u kraćoj verziji
(1) .

Posljedica

Neka su to funkcije nezavisne varijable x. Zatim
;
;
itd...

Dokažimo prvu formulu. Prvo primjenjujemo formulu derivacije produkta (1) za funkcije i , a zatim za funkcije i :

.

Druge slične formule dokazuju se na sličan način.

Primjeri

Primjer 1

Nađi izvedenicu
.

Primjenjujemo pravilo za razlikovanje umnoška dviju funkcija
(1) .
.

Iz tablice izvedenica nalazimo:
;
.
Zatim
.

Konačno imamo:
.

Primjer 2

Nađi derivaciju funkcije iz varijable x
.

Primjenjujemo formulu za derivaciju umnoška dviju funkcija:
(1) .
.

Primjenjujemo formulu za derivaciju zbroja i razlike funkcija:
.
.

Primjenjujemo pravila za razlikovanje konstanti:
;
.
;
.

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo “prirodnim” i za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:

Primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive izvoda. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.

Pravila razlikovanja

Pravila čega? Opet novi termin, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.

To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim povećanjem funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je izvučena iz predznaka izvoda.

Ako - neki stalni broj (konstanta), tada.

Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

1. u točki;
2. u točki;
3. u točki;
4. u točki.

rješenja:

1. (derivacija je ista u svim točkama, jer je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedimo novu funkciju i pronađemo njezin inkrement:

izvedenica:

Primjeri:

1. Nađite derivacije funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u točki.

rješenja:

Derivacija eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili što je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo izvod funkcije, pa pokušajmo reducirati našu funkciju na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristit ćemo se jednostavnim pravilom: . Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Dogodilo se?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kakva je bila, ostaje ista, samo se pojavio faktor koji je samo broj, ali ne i varijabla.

Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dviju funkcija, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferenciranja:

U ovom primjeru, proizvod dviju funkcija:

Derivacija logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljni logaritam s različitom bazom, na primjer:

Moramo svesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Samo što ćemo sada umjesto toga napisati:

Nazivnik je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobiva vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.

Derivacija složene funkcije.

Što je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako vam je logaritmiranje teško, pročitajte temu “Logaritmi” i bit ćete dobro), ali s matematičke točke gledišta, riječ “kompleksno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Primjerice, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Rezultat je složeni objekt: čokoladna pločica omotana i zavezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti obrnute korake obrnutim redoslijedom.

Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati dobiveni broj. Dakle, dan nam je broj (čokolada), ja mu pronađem kosinus (omot), a ti onda kvadriraš ono što sam ja dobio (zaveži vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvodimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što je proizašlo iz prve.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer,.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadrirate, a ja zatim tražim kosinus dobivenog broja: . Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se i funkcija.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Radnja koju obavimo posljednja bit će pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja koja je prva izvedena - prema tome "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Odvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju radnju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, a tek onda kubirajte. To znači da je to unutarnja funkcija, ali vanjska.
   A izvorna funkcija je njihov sastav: .
2. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
3. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
4. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
5. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

E, sad ćemo izdvojiti našu čokoladicu i potražiti izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. U odnosu na izvorni primjer, to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interno: ;

Vanjski: ;

2) Interno: ;

(Samo ga nemojte pokušavati prerezati do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interno: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da je riječ o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo ovu funkciju "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.

U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo redoslijed radnji.

1. Radikalni izraz. .

2. Korijen. .

3. Sinus. .

4. Trg. .

5. Sve zajedno:

DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je izuzeta iz predznaka izvoda:

Derivacija zbroja:

Derivat proizvoda:

Derivacija kvocijenta:

Derivacija složene funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

1. Definiramo “unutarnju” funkciju i nalazimo njen izvod.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge točke.

S uređivanje materijala na temu “derivacija”. Razina osnovne škole.
Teorijske informacije za učenike, nastavnike i nastavnike matematike. Za pomoć u održavanju nastave.

Definicija: derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije prema prirastu varijable, tj.

Tablica derivacija osnovnih matematičkih funkcija:

Pravila za izračunavanje izvedenica

Derivat zbroja bilo koja dva izraza jednaka su zbroju derivacija ovih izraza (derivacija zbroja jednaka je zbroju derivacija)

Derivacija razlike bilo koja dva izraza jednaka je razlici derivacija ovih članova (derivacija razlike jednaka je razlici derivacija).

Derivat proizvoda dva faktora jednak je umnošku derivacije prvog faktora i drugog plus umnožak prvog faktora i derivacije drugog (zbroj derivacija faktora uzetih redom).
Komentar profesora matematike: Kada učenika kratko podsjetim na pravilo za izračunavanje derivacije umnoška, ​​kažem ovo: derivacija prvog faktora za drugi plus razmijenite udarce!

Derivacija kvocijenta dva izraza jednaka je kvocijentu razlike između derivacija redom uzetih faktora i kvadrata nazivnika.

Derivacija umnoška broja i funkcije. Da biste pronašli izvod umnoška broja i doslovnog izraza (funkcije), trebate pomnožiti taj broj s izvodom ovog doslovnog izraza.

Derivacija složene funkcije:

Da biste izračunali derivaciju složene funkcije, trebate pronaći derivaciju vanjske funkcije i pomnožiti je s derivacijom unutarnje funkcije.

Vaši komentari i povratne informacije o stranici izvedenica:
Aleksandar S.
Stvarno mi je trebao stol. Jedan od najbrojnijih na internetu. Hvala puno na objašnjenjima i pravilima. Barem još jedan primjer bi im dobro došao. Još jednom vam puno hvala.

Kolpakov A.N., učitelj matematike: u redu, pokušat ću ažurirati stranicu s primjerima u bliskoj budućnosti.

Virtualni matematički priručnik.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, učitelj matematike.

Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka bude funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo što je:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje derivata: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:

Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može izvući iz predznaka derivacije. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite izvod funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na srednji argument, a zatim množimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo ispočetka razgovarati o izvedenicama za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteži test i razumjeti zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.