Određivanje udaljenosti od točke do ravnine. Udaljenost od točke do ravnine

Promotrimo određenu ravninu π i proizvoljnu točku M 0 u prostoru. Odaberimo za avion jedinični normalni vektor n sa početak u nekoj točki M 1 ∈ π, a neka je p(M 0 ,π) udaljenost od točke M 0 do ravnine π. Zatim (sl. 5.5)

r(M 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

budući da |n| = 1.

Ako je zadana π ravnina pravokutni koordinatni sustav sa svojom općom jednadžbom Ax + By + Cz + D = 0, tada je njegov vektor normale vektor s koordinatama (A; B; C) i možemo odabrati

Neka su (x 0 ; y 0 ; z 0) i (x 1 ; y 1 ; z 1) koordinate točaka M 0 i M 1 . Tada vrijedi jednakost Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, budući da točka M 1 pripada ravnini, a koordinate vektora M 1 M 0 nalaze se: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 - y 1 ; z 0 - z 1 ). Snimanje skalarni proizvod nM 1 M 0 u koordinatnom obliku i transformacijom (5.8) dobivamo

budući da je Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Dakle, da biste izračunali udaljenost od točke do ravnine, trebate zamijeniti koordinate točke u općoj jednadžbi ravnine, a zatim podijeliti apsolutnu vrijednost rezultat normalizirajućim faktorom jednakim duljini odgovarajućeg normalnog vektora.

ZADACI C2 JEDINSTVENOG DRŽAVNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ODREĐIVANJE UDALJENOSTI OD TOČKE DO RAVNINE

Kulikova Anastasia Yurievna

Student 5. godine, Odsjek za matematiku. analiza, algebra i geometrija EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

znanstveni voditelj dr. sc. ped. znanosti, izvanredni profesor EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

Posljednjih godina u zadacima Jedinstvenog državnog ispita iz matematike pojavili su se zadaci za izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine. U ovom članku, na primjeru jednog problema, razmatraju se različite metode za pronalaženje udaljenosti od točke do ravnine. Najprikladnija metoda može se koristiti za rješavanje različitih problema. Nakon što ste riješili problem pomoću jedne metode, možete provjeriti točnost rezultata pomoću druge metode.

Definicija. Udaljenost od točke do ravnine koja ne sadrži tu točku je duljina okomice povučene iz te točke na zadanu ravninu.

Zadatak. Zadan je pravokutni paralelopiped ABSD.A. 1 B 1 C 1 D 1 sa stranama AB=2, prije Krista=4, A.A. 1 =6. Pronađite udaljenost od točke D Gornja traka ACD 1 .

1 način. Korištenje definicija. Pronađite udaljenost r( D, ACD 1) od točke D Gornja traka ACD 1 (slika 1).

Slika 1. Prva metoda

Izvršimo D.H.⊥AC, dakle, po teoremu o tri okomice D 1 H⊥AC I (dd 1 H)⊥AC. Izvršimo direktno D.T. okomito D 1 H. Ravno D.T. leži u ravnini dd 1 H, stoga D.T.⊥A.C.. Stoga, D.T.⊥ACD 1.

ADC nađimo hipotenuzu AC i visine D.H.

Iz pravokutnog trokuta D 1 D.H. nađimo hipotenuzu D 1 H i visine D.T.

Odgovor: .

Metoda 2.Metoda volumena (korištenje pomoćne piramide). Problem ovog tipa može se svesti na problem izračunavanja visine piramide, gdje je visina piramide tražena udaljenost od točke do ravnine. Dokažite da je ta visina tražena udaljenost; nađite volumen ove piramide na dva načina i izrazite tu visinu.

Imajte na umu da ovom metodom nema potrebe konstruirati okomicu iz dane točke na danu ravninu.

Kuboid je paralelopiped čija su sva lica pravokutnici.

AB=CD=2, prije Krista=OGLAS=4, A.A. 1 =6.

Potrebna udaljenost bit će visina h piramide ACD 1 D, spušten s vrha D na bazi ACD 1 (slika 2).

Izračunajmo volumen piramide ACD 1 D dva puta.

Pri računanju u prvom načinu za osnovicu uzimamo ∆ ACD 1 tada

Kod računanja na drugi način za osnovicu uzimamo ∆ ACD, Zatim

Izjednačimo desne strane zadnje dvije jednakosti i dobijemo

Slika 2. Druga metoda

Od pravokutnih trokuta ACD, DODATI 1 , CDD 1 pronađite hipotenuzu koristeći Pitagorin teorem

ACD

Izračunajte površinu trokuta ACD 1 pomoću Heronove formule

Odgovor: .

3 načina. Metoda koordinata.

Neka se da točka M(x 0 ,g 0 ,z 0) i ravnina α , dano jednadžbom sjekira+po+cz+d=0 u pravokutnom kartezijevom koordinatnom sustavu. Udaljenost od točke M na ravninu α može se izračunati pomoću formule:

Uvedimo koordinatni sustav (slika 3). Ishodište koordinata u točki U;

Ravno AB- os x, ravno Sunce- os g, ravno BB 1 - os z.

Slika 3. Treća metoda

B(0,0,0), A(2,0,0), S(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Neka ax+po+ cz+ d=0 – jednadžba ravnine ACD 1 . Zamjena koordinata točaka u nju A, C, D 1 dobivamo:

Jednadžba ravnine ACD 1 će uzeti oblik

Odgovor: .

4 načina. Vektorska metoda.

Uvedimo bazu (slika 4) , .

Slika 4. Četvrta metoda

, Natjecanje "Prezentacija za lekciju"

Klasa: 11

Prezentacija za lekciju

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

• generalizacija i sistematizacija znanja i vještina učenika;
• razvoj sposobnosti analiziranja, uspoređivanja, donošenja zaključaka.

Oprema:

• multimedijski projektor;
• Računalo;
• listovi s problemskim tekstovima

NAPREDOVANJE RAZREDA

I. Organizacijski trenutak

II. Faza ažuriranja znanja(slajd 2)

Ponavljamo kako se određuje udaljenost točke od ravnine

III. Predavanje(slajdovi 3-15)

U ovoj lekciji ćemo pogledati različite načine kako pronaći udaljenost od točke do ravnine.

Prva metoda: korak po korak računski

Udaljenost od točke M do ravnine α:
– jednaka udaljenosti do ravnine α od proizvoljne točke P koja leži na pravoj liniji a koja prolazi točkom M i paralelna je s ravninom α;
– jednaka je udaljenosti do ravnine α od proizvoljne točke P koja leži na ravnini β, koja prolazi točkom M i paralelna je s ravninom α.

Riješit ćemo sljedeće probleme:

№1. U kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke C 1 do ravnine AB 1 C.

Ostaje izračunati vrijednost duljine segmenta O 1 N.

№2. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi A...F 1 kojoj su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost od točke A do ravnine DEA 1.

Sljedeća metoda: metoda volumena.

Ako je volumen piramide ABCM jednak V, tada se udaljenost od točke M do ravnine α koja sadrži ∆ABC izračunava po formuli ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Pri rješavanju zadataka koristimo jednakost obujma jednog lika, izraženu na dva različita načina.

Riješimo sljedeći problem:

№3. Brid AD piramide DABC okomit je na ravninu osnovice ABC. Odredite udaljenost od A do ravnine koja prolazi središtima bridova AB, AC i AD, ako.

Prilikom rješavanja problema koordinatna metoda udaljenost od točke M do ravnine α može se izračunati pomoću formule ρ(M; α) = , gdje je M(x 0; y 0; z 0), a ravnina je dana jednadžbom ax + by + cz + d = 0

Riješimo sljedeći problem:

№4. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Uvedimo koordinatni sustav s ishodištem u točki A, y-os će ići duž ruba AB, x-os duž ruba AD, a z-os duž ruba AA 1. Tada su koordinate točaka B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Napravimo jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke B, D, C 1.

Tada je – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Prema tome, ρ =

Sljedeća metoda koja se može koristiti za rješavanje problema ove vrste je metoda problema podrške.

Primjena ove metode sastoji se u korištenju poznatih referentnih problema, koji su formulirani kao teoremi.

Riješimo sljedeći problem:

№5. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke D 1 do ravnine AB 1 C.

Razmotrimo aplikaciju vektorska metoda.

№6. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Dakle, pogledali smo različite metode koje se mogu koristiti za rješavanje ove vrste problema. Izbor jedne ili druge metode ovisi o specifičnom zadatku i vašim željama.

IV. Grupni rad

Pokušajte riješiti problem na različite načine.

№1. Brid kocke A...D 1 jednak je . Odredi udaljenost od vrha C do ravnine BDC 1.

№2. U pravilnom tetraedru ABCD s bridom odredite udaljenost točke A od ravnine BDC

№3. U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1 čiji su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost od A do ravnine BCA 1.

№4. U pravilnoj četverokutnoj piramidi SABCD, čiji su svi bridovi jednaki 1, nađite udaljenost od A do ravnine SCD.

V. Sažetak sata, domaća zadaća, refleksija