Βασική εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης. Εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα

Μια στιγμή δύναμης φά σε σχέση με ένα σταθερό σημείο Το O είναι ένα φυσικό μέγεθος που προσδιορίζεται από το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος ακτίνας r που σύρεται από το σημείο Ο στο σημείο Α της εφαρμογής δύναμης και δύναμηςφά (Εικ. 25):

Μ = [ rF ].

ΕδώΜ - ψευδοδιάνυσμα, η διεύθυνση του συμπίπτει με την κατεύθυνση μεταφορικής κίνησης της δεξιάς έλικας όταν περιστρέφεται απόσολ Προς τηνφά .

Μέτρο ροπής δύναμης

Μ = Φρσίν = Fl, (18.1)

Οπου - γωνία μεταξύσολ Καιφά ; ρσιν = μεγάλο- η μικρότερη απόσταση μεταξύ της γραμμής δράσης της δύναμης και του σημείου Ο -ώμο δύναμης.

Ροπή δύναμης γύρω από σταθερό άξονα zονομάζεται βαθμωτό μέγεθος M z , ίση με την προβολή σε αυτόν τον άξονα του διανύσματος αΜ ροπή δύναμης που προσδιορίζεται σε σχέση με ένα αυθαίρετο σημείο Ο ενός δεδομένου άξονα 2 (Εικ. 26). Τιμή ροπής M z δεν εξαρτάται από την επιλογή της θέσης του σημείου Ο στον άξοναz.

Η εξίσωση (18.3) είναιεξίσωση δυναμικής περιστροφικής κίνησης άκαμπτου σώματος σε σχέση με σταθερό άξονα.

14. Κέντρο μάζας συστήματος υλικών σημείων.

Στην Γαλιλαιο-Νευτώνεια μηχανική, λόγω της ανεξαρτησίας της μάζας από την ταχύτητα, η ορμή ενός συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως προς την ταχύτητα του κέντρου μάζας του.Κέντρο μάζας (ήκέντρο αδράνειας) σύστημα υλικών σημείων ονομάζεται φανταστικό σημείο C, η θέση του οποίου χαρακτηρίζει την κατανομή της μάζας αυτού του συστήματος. Το διάνυσμα ακτίνας του είναι ίσο με

ΟπουΜ Εγώ Καιr Εγώ - διάνυσμα μάζας και ακτίνας, αντίστοιχαΕγώου υλικό σημείο?n- αριθμός υλικών σημείων στο σύστημα.

- μάζα του συστήματος.

Κέντρο ταχύτητας μάζας

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότιΠ Εγώ = Μ Εγώ v Εγώ , ΕΝΑ

υπάρχει ορμήR συστήματα, μπορείτε να γράψετε

Π = Μv ντο , (9.2)

δηλαδή η ορμή του συστήματος είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του συστήματος και την ταχύτητα του κέντρου μάζας του.

Αντικαθιστώντας την έκφραση (9.2) στην εξίσωση (9.1), λαμβάνουμε

mdv ντο / dt= φά 1 + φά 2 +...+ φά n , (9.3)

Δηλαδή, το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται ως υλικό σημείο στο οποίο συγκεντρώνεται η μάζα ολόκληρου του συστήματος και στο οποίο δρα μια δύναμη ίση με το γεωμετρικό άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα. Η έκφραση (9.3) είναινόμος της κίνησης του κέντρου μάζας.

Σύμφωνα με το (9.2), από τον νόμο της διατήρησης της ορμής προκύπτει ότι το κέντρο μάζας ενός κλειστού συστήματος είτε κινείται ευθύγραμμα και ομοιόμορφα είτε παραμένει ακίνητο

2) Τροχιά κίνησης. Διανυθείσα απόσταση. Κινηματικός νόμος της κίνησης.

Τροχιά κίνηση ενός υλικού σημείου - μια γραμμή που περιγράφεται από αυτό το σημείο στο χώρο. Ανάλογα με το σχήμα της τροχιάς, η κίνηση μπορεί να είναι ευθύγραμμη ή καμπύλη.

Ας εξετάσουμε την κίνηση ενός υλικού σημείου κατά μήκος μιας αυθαίρετης τροχιάς (Εικ. 2). Θα ξεκινήσουμε τη μέτρηση του χρόνου από τη στιγμή που το σημείο βρισκόταν στη θέση Α. Το μήκος του τμήματος της τροχιάς ΑΒ που διανύθηκε από το υλικό σημείο από την έναρξη του χρόνου μέτρησης ονομάζεταιμήκος διαδρομής Οπως καικαι είναι μια βαθμωτή συνάρτηση του χρόνου: μικρό =  μικρό(t). Διάνυσμα r= r- r 0 , σχεδιασμένο από την αρχική θέση του κινούμενου σημείου στη θέση του μέσα. ένα δεδομένο χρονικό σημείο (αύξηση του διανύσματος ακτίνας ενός σημείου κατά την υπό εξέταση χρονική περίοδο) ονομάζεταικίνηση.

Κατά την ευθύγραμμη κίνηση, το διάνυσμα μετατόπισης συμπίπτει με το αντίστοιχο τμήμα της τροχιάς και τη μονάδα μετατόπισης | r| ίση με την απόσταση που διανύθηκε μικρό.

Ερωτήσεις για τις εξετάσεις στη φυσική (Α' εξάμηνο)

1. Κίνηση. Είδη κινήσεων. Περιγραφή της κίνησης. Σύστημα αναφοράς.

2. Τροχιά κίνησης. Διανυθείσα απόσταση. Κινηματικός νόμος της κίνησης.

3. Ταχύτητα. Μέση ταχύτητα. Προβολές ταχύτητας.

4. Επιτάχυνση. Η έννοια της κανονικής και της εφαπτομενικής επιτάχυνσης.

5. Περιστροφική κίνηση. Γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση.

6. Κεντρομόλος επιτάχυνση.

7. Αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα.

8. Δύναμη. Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα.

9. Τρίτος νόμος του Νεύτωνα.

10.Τύποι αλληλεπιδράσεων. Σωματίδια φορέα αλληλεπίδρασης.

11. Έννοια πεδίου αλληλεπιδράσεων.

12. Βαρυτικές δυνάμεις. Βαρύτητα. Σωματικό βάρος.

13. Δυνάμεις τριβής και ελαστικές δυνάμεις.

14. Κέντρο μάζας συστήματος υλικών σημείων.

15. Νόμος διατήρησης της ορμής.

16. Ροπή δύναμης σε σχέση με ένα σημείο και έναν άξονα.

17. Ροπή αδράνειας άκαμπτου σώματος. Θεώρημα Steiner.

18. Βασική εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης.

19. Ορμή. Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής.

20. Εργασία. Υπολογισμός εργασιών. Έργο ελαστικών δυνάμεων.

21. Δύναμη. Υπολογισμός ισχύος.

22. Δυνητικό πεδίο δυνάμεων. Συντηρητικές και μη δυνάμεις.

23. Το έργο των συντηρητικών δυνάμεων.

24. Ενέργεια. Τύποι ενέργειας.

25. Κινητική ενέργεια του σώματος.

26. Δυνητική ενέργεια του σώματος.

27. Ολική μηχανική ενέργεια συστήματος σωμάτων.

28. Σχέση δυναμικής ενέργειας και δύναμης.

29. Συνθήκες για την ισορροπία ενός μηχανικού συστήματος.

30. Σύγκρουση σωμάτων. Τύποι συγκρούσεων.

31. Νόμοι διατήρησης για διάφορους τύπους συγκρούσεων.

32. Τρέχουσες γραμμές και σωλήνες. Συνέχεια του ρεύματος. 3 3. Εξίσωση Bernoulli.

34. Δυνάμεις εσωτερικής τριβής. Ιξώδες.

35. Ταλαντωτική κίνηση. Είδη δονήσεων.

36. Αρμονικές δονήσεις. Ορισμός, εξίσωση, παραδείγματα.

37. Αυτοταλαντώσεις. Ορισμός, παραδείγματα.

38. Αναγκαστικοί κραδασμοί. Ορισμός, παραδείγματα. Αντήχηση.

39. Εσωτερική ενέργεια του συστήματος.

40. Ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής. Εργασία που εκτελείται από ένα σώμα όταν αλλάζει ο όγκος.

41. Θερμοκρασία. Εξίσωση κατάστασης ιδανικού αερίου.

42. Εσωτερική ενέργεια και θερμοχωρητικότητα ενός ιδανικού αερίου.

43. Αδιαβατική εξίσωση για ιδανικό αέριο.

44. Πολυτροπικές διεργασίες.

45. Αέριο Van der Waals.

46. ​​Πίεση αερίου στον τοίχο. Μέση ενέργεια μορίων.

47. Κατανομή Maxwell.

48. Κατανομή Boltzmann.

Θέμα 3. Στοιχεία μηχανικής στερεών σωμάτων.

Διάλεξη Νο 5.

Κινηματικές σχέσεις

Προσδιορισμός ροπής δύναμης.

Ροπή αδράνειας, ροπή ορμής άκαμπτου σώματος.

Κινηματικές σχέσεις.

Ένα συμπαγές σώμα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύστημα υλικών σημείων που στερεώνονται άκαμπτα μεταξύ τους. Η φύση της κίνησής του μπορεί να είναι διαφορετική.

Κυρίως διάκριση μεταφορικές και περιστροφικές κινήσεις .

Στο προοδευτικός Κατά την κίνηση, όλα τα σημεία του σώματος κινούνται κατά μήκος παράλληλων τροχιών, επομένως για να περιγράψουμε την κίνηση του σώματος στο σύνολό του, αρκεί να γνωρίζουμε τον νόμο της κίνησης ενός σημείου. Συγκεκριμένα, το κέντρο μάζας ενός άκαμπτου σώματος μπορεί να χρησιμεύσει ως τέτοιο σημείο

Στο περιστροφικός(πιο πολύπλοκο!)Κατά την κίνηση, όλα τα σημεία του σώματος περιγράφουν ομόκεντρους κύκλους, τα κέντρα των οποίων βρίσκονται στον ίδιο άξονα. Οι ταχύτητες των σημείων σε οποιονδήποτε κύκλο σχετίζονται με τις ακτίνες αυτών των κύκλων και τη γωνιακή ταχύτητα
περιστροφή: . Δεδομένου ότι ένα άκαμπτο σώμα διατηρεί το σχήμα του κατά την περιστροφή, οι ακτίνες περιστροφής παραμένουν σταθερές και η γραμμική επιτάχυνση θα είναι ίση με:

. (1)

Προσδιορισμός ροπής δύναμης.

Για να περιγράψουμε τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης ενός άκαμπτου σώματος, είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε τις έννοιες των ροπών δύναμης.

Ορισμός 1.

στιγμή - δύναμη – , εφαρμόζεται σε ένα υλικό σημείο Τ. ΕΝΑ, σε σχέση με ένα αυθαίρετο σημείο Τ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ , τραβηγμένο από το σημείο Τ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ μέχρι κάποιο σημείο Τ. ΕΝΑ:

Σημείωση.

Το μέτρο του διανυσματικού γινομένου, δηλαδή το πραγματικό μέγεθος της στιγμής, καθορίζεται από το γινόμενο - , και η κατεύθυνση της ροπής δίνεται από τον ορισμό του δεξιού τριπλού των διανυσμάτων.

Ορισμός 2.

στιγμή– δύναμη – , εφαρμόζεται στο σημείο τ.Α, σε σχέση με αυθαίρετο άξονα ονομάζεται εγκάρσιο γινόμενο του διανύσματος ακτίνας και συνιστώσα δύναμης , που βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα και περνώντας από το σημείο Τ. ΕΝΑ:

.

Βασική εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης.

Ας υπάρχει ένα άκαμπτο σώμα αυθαίρετου σχήματος που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα OO. Σπάζοντας το σώμα σε μικρά στοιχεία, μπορείτε να δείτε ότι όλα περιστρέφονται γύρω από έναν άξονα OOσε επίπεδα κάθετα στον άξονα περιστροφής με την ίδια γωνιακή ταχύτητα w.

Η κίνηση καθενός από τα επιμέρους στοιχεία μικρής μάζας m iπεριγράφεται από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα.

Για Εγώτο στοιχείο έχουμε:

Οπου f ik (k = 1,2, ...N)αντιπροσωπεύουν τις εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης όλων

Είδη με επιλεγμένα και F i- το αποτέλεσμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που επενεργούν Εγώ- στοιχείο.

Ταχύτητα v iΚάθε στοιχείο, γενικά μιλώντας, μπορεί να αλλάξει όπως επιθυμείτε, αλλά επειδή το σώμα είναι συμπαγές, δεν χρειάζεται να ληφθεί υπόψη η μετατόπιση των σημείων προς την κατεύθυνση των ακτίνων περιστροφής. Επομένως, προβάλλουμε την εξίσωση (1) στην κατεύθυνση της εφαπτομένης στον κύκλο περιστροφής και πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με r i:

Στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει, τα προϊόντα του τύπου αντιπροσωπεύουν τις ροπές εσωτερικών δυνάμεων σε σχέση με τον άξονα περιστροφής, αφού r iΚαι στ αυτόαμοιβαία κάθετα. Ομοίως, τα προϊόντα είναι οι ροπές των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν Εγώ-στοιχείο.

Ας συνοψίσουμε στην εξίσωση της κίνησης όλων των στοιχείων στα οποία χωρίστηκε το σώμα.

Το άθροισμα των ροπών των εσωτερικών δυνάμεων μπορεί να χωριστεί σε ζεύγη όρων, που οφείλουν την προέλευσή τους στην αλληλεπίδραση δύο συμμετρικών στοιχείων του σώματος μεταξύ τους. Οι στιγμές τους είναι ίσες και αντίθετα σκηνοθετημένες. Με βάση αυτό, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι όταν αθροίζονται όλες οι στιγμές των εσωτερικών δυνάμεων, θα καταστραφούν σε ζεύγη. Ας υποδηλώσουμε τη συνολική ροπή όλων των εξωτερικών δυνάμεων S M i, Οπου M i = [ r i × F i ].

Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (2), λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (1) στην προηγούμενη ενότητα, παρουσιάζεται ως εξής:

= = , (3)

όπου είναι η ροπή αδράνειας.

Η εξίσωση (3) είναι βασική εξίσωση περιστροφικής κίνησης.

4.Ροπή αδράνειας άκαμπτου σώματος.

Ορισμός 1.

Μέγεθος ονομάζεται ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος ως προς έναν δεδομένο άξονα.

Αυτό το άρθρο περιγράφει ένα σημαντικό τμήμα της φυσικής - "Κινηματική και δυναμική της περιστροφικής κίνησης".

Βασικές έννοιες της κινηματικής της περιστροφικής κίνησης

Η περιστροφική κίνηση ενός υλικού σημείου γύρω από έναν σταθερό άξονα ονομάζεται τέτοια κίνηση, η τροχιά της οποίας είναι ένας κύκλος που βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο προς τον άξονα και το κέντρο του βρίσκεται στον άξονα περιστροφής.

Η περιστροφική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος είναι μια κίνηση κατά την οποία όλα τα σημεία του σώματος κινούνται κατά μήκος ομόκεντρων (τα κέντρα των οποίων βρίσκονται στον ίδιο άξονα) κύκλους σύμφωνα με τον κανόνα για την περιστροφική κίνηση ενός υλικού σημείου.

Αφήστε ένα αυθαίρετο άκαμπτο σώμα Τ να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ο, ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο του σχεδίου. Ας επιλέξουμε το σημείο M σε αυτό το σώμα Όταν περιστραφεί, αυτό το σημείο θα περιγράψει έναν κύκλο με ακτίνα γύρω από τον άξονα O r.

Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, η ακτίνα θα περιστραφεί σε σχέση με την αρχική της θέση κατά γωνία Δφ.

Ως θετική φορά περιστροφής λαμβάνεται η φορά της δεξιάς βίδας (δεξιόστροφα). Η μεταβολή της γωνίας περιστροφής με την πάροδο του χρόνου ονομάζεται εξίσωση περιστροφικής κίνησης ενός άκαμπτου σώματος:

φ = φ(t).

Αν το φ μετριέται σε ακτίνια (1 rad είναι η γωνία που αντιστοιχεί σε τόξο μήκους ίσου με την ακτίνα του), τότε το μήκος του κυκλικού τόξου ΔS, το οποίο θα περάσει το υλικό σημείο Μ σε χρόνο Δt, είναι ίσο με:

ΔS = Δφr.

Βασικά στοιχεία της κινηματικής της ομοιόμορφης περιστροφικής κίνησης

Μέτρο της κίνησης ενός υλικού σημείου σε σύντομο χρονικό διάστημα dtχρησιμεύει ως στοιχειώδες διάνυσμα περιστροφής dφ.

Η γωνιακή ταχύτητα ενός υλικού σημείου ή σώματος είναι ένα φυσικό μέγεθος που προσδιορίζεται από τον λόγο του διανύσματος μιας στοιχειώδους περιστροφής προς τη διάρκεια αυτής της περιστροφής. Η κατεύθυνση του διανύσματος μπορεί να προσδιοριστεί από τον κανόνα της δεξιάς βίδας κατά μήκος του άξονα O:

ω = dφ/dt.

Αν ω = dφ/dt = const,τότε μια τέτοια κίνηση ονομάζεται ομοιόμορφη περιστροφική κίνηση. Με αυτό, η γωνιακή ταχύτητα καθορίζεται από τον τύπο

ω = φ/t.

Σύμφωνα με τον προκαταρκτικό τύπο, η διάσταση της γωνιακής ταχύτητας

[ω] = 1 rad/s.

Η ομοιόμορφη περιστροφική κίνηση ενός σώματος μπορεί να περιγραφεί από την περίοδο περιστροφής. Η περίοδος περιστροφής T είναι ένα φυσικό μέγεθος που καθορίζει το χρόνο κατά τον οποίο ένα σώμα κάνει μια πλήρη περιστροφή γύρω από τον άξονα περιστροφής ([T] = 1 s). Αν στον τύπο για τη γωνιακή ταχύτητα πάρουμε t = T, φ = 2 π (μία πλήρης περιστροφή ακτίνας r), τότε

ω = 2π/Τ,

Επομένως, ορίζουμε την περίοδο περιστροφής ως εξής:

T = 2π/ω.

Ο αριθμός των στροφών που κάνει ένα σώμα ανά μονάδα χρόνου ονομάζεται συχνότητα περιστροφής ν, η οποία ισούται με:

ν = 1/Τ.

Μονάδες συχνότητας: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Συγκρίνοντας τους τύπους για τη γωνιακή ταχύτητα και τη συχνότητα περιστροφής, λαμβάνουμε μια έκφραση που συνδέει αυτές τις ποσότητες:

ω = 2πν.

Βασικά στοιχεία της κινηματικής της ανώμαλης περιστροφικής κίνησης

Η ανομοιόμορφη περιστροφική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος ή υλικού σημείου γύρω από έναν σταθερό άξονα χαρακτηρίζεται από τη γωνιακή του ταχύτητα, η οποία αλλάζει με το χρόνο.

Διάνυσμα ε , που χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας, ονομάζεται διάνυσμα γωνιακής επιτάχυνσης:

ε = dω/dt.

Αν ένα σώμα περιστρέφεται, επιταχύνοντας, δηλαδή dω/dt > 0, το διάνυσμα έχει διεύθυνση κατά μήκος του άξονα στην ίδια διεύθυνση με το ω.

Εάν η περιστροφική κίνηση είναι αργή - dω/dt< 0 , τότε τα διανύσματα ε και ω έχουν αντίθετη κατεύθυνση.

Σχόλιο. Όταν συμβαίνει ανομοιόμορφη περιστροφική κίνηση, το διάνυσμα ω μπορεί να αλλάξει όχι μόνο σε μέγεθος, αλλά και σε κατεύθυνση (όταν περιστρέφεται ο άξονας περιστροφής).

Σχέση μεταξύ μεγεθών που χαρακτηρίζουν τη μεταφορική και περιστροφική κίνηση

Είναι γνωστό ότι το μήκος του τόξου με τη γωνία περιστροφής της ακτίνας και η τιμή του σχετίζονται με τη σχέση

ΔS = Δφ r.

Στη συνέχεια, η γραμμική ταχύτητα ενός υλικού σημείου που εκτελεί περιστροφική κίνηση

υ = ΔS/Δt = Δφρ/Δt = ωr.

Η κανονική επιτάχυνση ενός υλικού σημείου που εκτελεί περιστροφική μεταφορική κίνηση ορίζεται ως εξής:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Έτσι, σε βαθμωτή μορφή

a = ω 2 r.

Εφαπτομενικό επιταχυνόμενο υλικό σημείο που εκτελεί περιστροφική κίνηση

a = ε r.

Ορμή ενός υλικού σημείου

Το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος ακτίνας της τροχιάς ενός υλικού σημείου μάζας m i και της ορμής του ονομάζεται γωνιακή ορμή αυτού του σημείου ως προς τον άξονα περιστροφής. Η κατεύθυνση του διανύσματος μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον σωστό κανόνα βίδας.

Ορμή ενός υλικού σημείου ( L i) κατευθύνεται κάθετα στο επίπεδο που διασχίζεται από τα r i και υ i, και σχηματίζει μαζί τους ένα δεξιό τριπλό διανυσμάτων (δηλαδή όταν κινείται από το τέλος του διανύσματος r iΠρος την υ i η δεξιά βίδα θα δείξει την κατεύθυνση του διανύσματος μεγάλοΕγώ).

Σε κλιμακωτή μορφή

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Λαμβάνοντας υπόψη ότι όταν κινούμαστε σε κύκλο, το διάνυσμα ακτίνας και το διάνυσμα γραμμικής ταχύτητας για το i-ο υλικό σημείο είναι αμοιβαία κάθετα,

sin(υ i, r i) = 1.

Έτσι η γωνιακή ορμή ενός υλικού σημείου για περιστροφική κίνηση θα πάρει τη μορφή

L = m i υ i r i .

Η ροπή της δύναμης που δρα στο i-ο υλικό σημείο

Το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος ακτίνας, που έλκεται στο σημείο εφαρμογής της δύναμης, και αυτή η δύναμη ονομάζεται η ροπή της δύναμης που επενεργεί στο i-ο υλικό σημείο σε σχέση με τον άξονα περιστροφής.

Σε κλιμακωτή μορφή

M i = r i F i sin(r i, F i).

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Μέγεθος μεγάλο i, ίσο με το μήκος της καθέτου που χαμηλώνει από το σημείο περιστροφής προς την κατεύθυνση δράσης της δύναμης, ονομάζεται βραχίονας της δύναμης F i.

Δυναμική περιστροφικής κίνησης

Η εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης γράφεται ως εξής:

M = dL/dt.

Η διατύπωση του νόμου έχει ως εξής: ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ορμής ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα είναι ίσος με τη ροπή που προκύπτει σε σχέση με αυτόν τον άξονα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα.

Ροπή ώθησης και ροπή αδράνειας

Είναι γνωστό ότι για το i-ο υλικό σημείο η γωνιακή ορμή σε βαθμωτή μορφή δίνεται από τον τύπο

L i = m i υ i r i .

Αν αντί για γραμμική ταχύτητα αντικαταστήσουμε την έκφρασή της με γωνιακή ταχύτητα:

υ i = ωρ i ,

τότε η έκφραση για τη γωνιακή ορμή θα πάρει τη μορφή

L i = m i r i 2 ω.

Μέγεθος I i = m i r i 2ονομάζεται η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα του i-ου υλικού σημείου ενός απολύτως άκαμπτου σώματος που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Στη συνέχεια γράφουμε τη γωνιακή ορμή του υλικού σημείου:

L i = I i ω.

Γράφουμε τη γωνιακή ορμή ενός απολύτως άκαμπτου σώματος ως το άθροισμα της γωνιακής ορμής των υλικών σημείων που απαρτίζουν αυτό το σώμα:

L = Iω.

Ροπή δύναμης και ροπή αδράνειας

Ο νόμος της περιστροφικής κίνησης λέει:

M = dL/dt.

Είναι γνωστό ότι η γωνιακή ορμή ενός σώματος μπορεί να αναπαρασταθεί μέσω της ροπής αδράνειας:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η γωνιακή επιτάχυνση καθορίζεται από την έκφραση

ε = dω/dt,

λαμβάνουμε έναν τύπο για τη στιγμή της δύναμης, που αναπαρίσταται μέσω της ροπής αδράνειας:

Μ = Ιε.

Σχόλιο.Μια ροπή δύναμης θεωρείται θετική αν η γωνιακή επιτάχυνση που την προκαλεί είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και αντίστροφα.

Θεώρημα Steiner. Νόμος πρόσθεσης ροπών αδράνειας

Εάν ο άξονας περιστροφής ενός σώματος δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του, τότε σε σχέση με αυτόν τον άξονα μπορεί κανείς να βρει τη ροπή αδράνειάς του χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Steiner:
I = I 0 + ma 2,

Οπου Εγώ 0- αρχική ροπή αδράνειας του σώματος. Μ- μάζα σώματος; ένα- απόσταση μεταξύ αξόνων.

Αν ένα σύστημα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα αποτελείται από nσώματα, τότε η συνολική ροπή αδράνειας αυτού του τύπου συστήματος θα είναι ίση με το άθροισμα των ροπών των συστατικών του (ο νόμος της πρόσθεσης ροπών αδράνειας).

Η βασική εξίσωση της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης - τομή Μηχανική, Μια αναπόδεικτη και αναντίρρητη υπόθεση ονομάζεται ανοιχτό πρόβλημα Σύμφωνα με την Εξίσωση (5.8) Δεύτερος Νόμος Περιστροφικής Κίνησης του Νεύτωνα...

Αυτή η έκφραση ονομάζεται βασική εξίσωση της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης και διατυπώνεται ως εξής: η μεταβολή της γωνιακής ορμής ενός άκαμπτου σώματος είναι ίση με τη γωνιακή ορμή όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε αυτό το σώμα.

Γωνιακή ορμή (κινητική ορμή, γωνιακή ορμή, τροχιακή ορμή, γωνιακή ορμή)χαρακτηρίζει το μέγεθος της περιστροφικής κίνησης. Μια ποσότητα που εξαρτάται από το πόση μάζα περιστρέφεται, πώς κατανέμεται σε σχέση με τον άξονα περιστροφής και με ποια ταχύτητα συμβαίνει η περιστροφή.

Σχόλιο:Η γωνιακή ορμή γύρω από ένα σημείο είναι ένα ψευδοδιάνυσμα και η γωνιακή ορμή γύρω από έναν άξονα είναι ένα βαθμωτό μέγεθος.

Πρέπει να σημειωθεί ότι εδώ η περιστροφή νοείται με ευρεία έννοια, όχι μόνο ως κανονική περιστροφή γύρω από έναν άξονα. Για παράδειγμα, ακόμη και όταν ένα σώμα κινείται σε ευθεία γραμμή πέρα ​​από ένα αυθαίρετο νοητό σημείο, έχει επίσης γωνιακή ορμή. Η γωνιακή ορμή παίζει τον μεγαλύτερο ρόλο στην περιγραφή της πραγματικής περιστροφικής κίνησης.

Η γωνιακή ορμή ενός συστήματος κλειστού βρόχου διατηρείται.

Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής(νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής) - το διανυσματικό άθροισμα όλης της γωνιακής ορμής σε σχέση με οποιονδήποτε άξονα για ένα κλειστό σύστημα παραμένει σταθερό στην περίπτωση ισορροπίας του συστήματος. Σύμφωνα με αυτό, η γωνιακή ορμή ενός κλειστού συστήματος σε σχέση με οποιοδήποτε σταθερό σημείο δεν αλλάζει με το χρόνο.

Ο νόμος της διατήρησης της γωνιακής ορμής είναι μια εκδήλωση της ισοτροπίας του χώρου.

Πού ισχύει ο νόμος της διατήρησης της γωνιακής ορμής;Ποιος από εμάς δεν θαυμάζει την ομορφιά των κινήσεων των καλλιτεχνικών πατινάζ στον πάγο, τις γρήγορες περιστροφές τους και τις εξίσου γρήγορες μεταβάσεις σε αργή ολίσθηση, τις πιο περίπλοκες τούμπες γυμναστών ή άλτες με τραμπολίνο! Αυτή η εκπληκτική δεξιότητα βασίζεται στο ίδιο αποτέλεσμα, το οποίο είναι συνέπεια του νόμου της διατήρησης της γωνιακής ορμής. Απλώνοντας τα χέρια του στα πλάγια και μετακινώντας το ελεύθερο πόδι του, ο σκέιτερ μεταδίδει μια αργή περιστροφή γύρω από τον κατακόρυφο άξονα (βλ. Εικ. 1). Με απότομη "ομαδοποίηση", μειώνει τη ροπή αδράνειας και λαμβάνει μια αύξηση στη γωνιακή ταχύτητα.

Εάν ο άξονας περιστροφής ενός σώματος είναι ελεύθερος (για παράδειγμα, εάν το σώμα πέφτει ελεύθερα), τότε η διατήρηση της γωνιακής ορμής δεν σημαίνει ότι η διεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας διατηρείται στο αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς. Με σπάνιες εξαιρέσεις, ο στιγμιαίος άξονας περιστροφής λέγεται ότι προηγείται γύρω από την κατεύθυνση της γωνιακής ορμής του σώματος. Αυτό εκδηλώνεται όταν το σώμα πέφτει όταν πέφτει. Ωστόσο, τα σώματα έχουν τους λεγόμενους κύριους άξονες αδράνειας, οι οποίοι συμπίπτουν με τους άξονες συμμετρίας αυτών των σωμάτων. Η περιστροφή γύρω τους είναι σταθερή, τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής ορμής συμπίπτουν ως προς την κατεύθυνση και δεν συμβαίνει πτώσεις.

Αν παρατηρήσετε προσεκτικά τη δουλειά ενός ζογκλέρ, θα παρατηρήσετε ότι όταν πετάει αντικείμενα, τα κάνει περιστροφή. Μόνο που σε αυτή την περίπτωση τα μπαστούνια, τα πιάτα, τα καπέλα επιστρέφονται στα χέρια του στην ίδια θέση που τους δόθηκε. Τα όπλα με όπλα παρέχουν καλύτερη στόχευση και μεγαλύτερη εμβέλεια από τα όπλα με λεία οπή. Ένα βλήμα πυροβολικού που εκτοξεύεται από όπλο περιστρέφεται γύρω από τον διαμήκη άξονά του και επομένως η πτήση του είναι σταθερή.

Εικ.2. Εικ.3.

Το γνωστό τοπ, ή γυροσκόπιο, συμπεριφέρεται με τον ίδιο τρόπο (Εικ. 2). Στη μηχανική, γυροσκόπιο είναι κάθε μαζικό ομοιογενές σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα συμμετρίας με υψηλή γωνιακή ταχύτητα. Τυπικά, ο άξονας περιστροφής επιλέγεται έτσι ώστε η ροπή αδράνειας γύρω από αυτόν τον άξονα να είναι μέγιστη. Τότε η περιστροφή είναι πιο σταθερή.

Για τη δημιουργία ενός ελεύθερου γυροσκόπιου στην τεχνολογία, χρησιμοποιείται ένα gimbal gimbal (Εικ. 3). Αποτελείται από δύο δακτυλιοειδή κλουβιά που ταιριάζουν το ένα μέσα στο άλλο και μπορούν να περιστρέφονται το ένα ως προς το άλλο. Το σημείο τομής και των τριών αξόνων 00, O"O" και O"0"συμπίπτει με τη θέση του κέντρου μάζας του γυροσκόπιου ΜΕ.Σε μια τέτοια ανάρτηση, το γυροσκόπιο μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οποιονδήποτε από τους τρεις αμοιβαία κάθετους άξονες, ενώ το κέντρο μάζας σε σχέση με την ανάρτηση θα βρίσκεται σε ηρεμία.

Ενώ το γυροσκόπιο είναι ακίνητο, μπορεί να περιστραφεί γύρω από οποιονδήποτε άξονα χωρίς μεγάλη προσπάθεια. Εάν το γυροσκόπιο τεθεί σε γρήγορη περιστροφή σε σχέση με τον άξονα 00 και μετά προσπαθήστε να περιστρέψετε το αντίζυγο, ο άξονας του γυροσκοπίου τείνει να διατηρεί την κατεύθυνσή του αμετάβλητη. Ο λόγος για μια τέτοια σταθερότητα περιστροφής συνδέεται με το νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμής. Δεδομένου ότι η ροπή των εξωτερικών δυνάμεων είναι μικρή, δεν είναι σε θέση να αλλάξει σημαντικά τη γωνιακή ορμή του γυροσκόπιου. Ο άξονας περιστροφής του γυροσκόπιου, με τη διεύθυνση του οποίου το διάνυσμα της γωνιακής ορμής σχεδόν συμπίπτει, δεν αποκλίνει πολύ από τη θέση του, αλλά μόνο τρέμει, παραμένοντας στη θέση του.

Αυτή η ιδιότητα του γυροσκοπίου έχει ευρείες πρακτικές εφαρμογές. Ένας πιλότος, για παράδειγμα, χρειάζεται πάντα να γνωρίζει τη θέση της πραγματικής κατακόρυφου της γης σε σχέση με τη θέση του αεροσκάφους σε μια δεδομένη στιγμή. Ένα συνηθισμένο βαρέλι δεν είναι κατάλληλο για αυτό το σκοπό: με επιταχυνόμενη κίνηση, αποκλίνει από την κατακόρυφο. Χρησιμοποιούνται γρήγορα περιστρεφόμενα γυροσκόπια σε ένα αντίζυμο. Εάν ο άξονας περιστροφής του γυροσκόπιου ρυθμιστεί έτσι ώστε να συμπίπτει με την κατακόρυφο της γης, τότε ανεξάρτητα από το πώς το επίπεδο αλλάζει τη θέση του στο διάστημα, ο άξονας θα διατηρήσει την κατακόρυφη διεύθυνση. Αυτή η συσκευή ονομάζεται γυροσκοπικός ορίζοντας.

Εάν το γυροσκόπιο βρίσκεται σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα, τότε ο άξονάς του ρυθμίζεται παράλληλα με τον άξονα περιστροφής του συστήματος. Σε επίγειες συνθήκες, αυτό εκδηλώνεται στο γεγονός ότι ο άξονας του γυροσκόπιου είναι τελικά παράλληλος με τον άξονα περιστροφής της Γης, υποδεικνύοντας την κατεύθυνση βορρά-νότου. Στη θαλάσσια πλοήγηση, μια τέτοια γυροσκοπική πυξίδα είναι μια απολύτως απαραίτητη συσκευή.

Αυτή η φαινομενικά περίεργη συμπεριφορά του γυροσκόπιου είναι επίσης σε πλήρη συμφωνία με την εξίσωση των ροπών και τον νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμής.

Ο νόμος της διατήρησης της γωνιακής ορμής είναι, μαζί με τους νόμους της διατήρησης της ενέργειας και της ορμής, ένας από τους πιο σημαντικούς θεμελιώδεις νόμους της φύσης και, γενικά, δεν προέρχεται από τους νόμους του Νεύτωνα. Μόνο στην ειδική περίπτωση που εξετάζουμε την κυκλική κίνηση σωματιδίων ή υλικών σημείων, το σύνολο των οποίων σχηματίζει ένα άκαμπτο σώμα, είναι δυνατή μια τέτοια προσέγγιση. Όπως και άλλοι νόμοι διατήρησης, σύμφωνα με το θεώρημα του Noether, συνδέεται με έναν ορισμένο τύπο συμμετρίας.

Τέλος εργασίας -

Αυτό το θέμα ανήκει στην ενότητα:

Μια αναπόδεικτη και αναντίρρητη υπόθεση ονομάζεται ανοιχτό πρόβλημα.

Η φυσική είναι στενά συνδεδεμένη με τα μαθηματικά, τα μαθηματικά παρέχουν μια συσκευή με τη βοήθεια της οποίας μπορούν να διατυπωθούν επακριβώς οι φυσικοί νόμοι.

Εάν χρειάζεστε επιπλέον υλικό για αυτό το θέμα ή δεν βρήκατε αυτό που αναζητούσατε, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε την αναζήτηση στη βάση δεδομένων των έργων μας:

Τι θα κάνουμε με το υλικό που λάβαμε:

Εάν αυτό το υλικό σας ήταν χρήσιμο, μπορείτε να το αποθηκεύσετε στη σελίδα σας στα κοινωνικά δίκτυα:

« Φυσική - 10η τάξη"

Γωνιώδης επιτάχυνση.

Προηγουμένως, λάβαμε έναν τύπο που συνδέει τη γραμμική ταχύτητα υ, τη γωνιακή ταχύτητα ω και την ακτίνα R του κύκλου κατά μήκος του οποίου κινείται το επιλεγμένο στοιχείο (σημείο υλικού) ενός απολύτως άκαμπτου σώματος, το οποίο περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα:

Ξέρουμε ότι γραμμικόςοι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των σημείων ενός άκαμπτου σώματος είναι διαφορετικές. Ταυτοχρονα γωνιακή ταχύτηταείναι το ίδιο για όλα τα σημεία ενός άκαμπτου σώματος.

Η γωνιακή ταχύτητα είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Η κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας καθορίζεται από τον κανόνα του gimlet. Εάν η φορά περιστροφής της λαβής του στίχου συμπίπτει με τη φορά περιστροφής του σώματος, τότε η μεταφορική κίνηση του ελατηρίου υποδεικνύει την κατεύθυνση του διανύσματος γωνιακής ταχύτητας (Εικ. 6.1).

Ωστόσο, η ομοιόμορφη περιστροφική κίνηση είναι αρκετά σπάνια. Πολύ πιο συχνά έχουμε να κάνουμε με κίνηση στην οποία αλλάζει η γωνιακή ταχύτητα, προφανώς αυτό συμβαίνει στην αρχή και στο τέλος της κίνησης.

Ο λόγος για την αλλαγή της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής είναι η δράση των δυνάμεων στο σώμα. Η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου καθορίζει γωνιώδης επιτάχυνση.

Το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας είναι ένα συρόμενο διάνυσμα. Ανεξάρτητα από το σημείο εφαρμογής, η κατεύθυνσή του υποδεικνύει την κατεύθυνση περιστροφής του σώματος και η μονάδα καθορίζει την ταχύτητα περιστροφής,

Η μέση γωνιακή επιτάχυνση είναι ίση με τον λόγο της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας προς τη χρονική περίοδο κατά την οποία συνέβη αυτή η αλλαγή:

Με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση, η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή και με ακίνητο άξονα περιστροφής χαρακτηρίζει τη μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας σε απόλυτη τιμή. Όταν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ενός σώματος αυξάνεται, η γωνιακή επιτάχυνση κατευθύνεται προς την ίδια κατεύθυνση με τη γωνιακή ταχύτητα (Εικ. 6.2, α), και όταν μειώνεται, στην αντίθετη κατεύθυνση (Εικ. 6.2, β).

Εφόσον η γωνιακή ταχύτητα σχετίζεται με τη γραμμική ταχύτητα με τη σχέση υ = ωR, η μεταβολή της γραμμικής ταχύτητας σε μια ορισμένη χρονική περίοδο Δt είναι ίση με Δυ =ΔωR. Διαιρώντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με Δt, έχουμε είτε a = εR, όπου α - εφαπτομένη γραμμή(γραμμικός) επιτάχυνση, που κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά κίνησης (κύκλος).

Εάν ο χρόνος μετριέται σε δευτερόλεπτα και η γωνιακή ταχύτητα μετριέται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο, τότε μια μονάδα γωνιακής επιτάχυνσης είναι ίση με 1 rad/s 2, δηλαδή η γωνιακή επιτάχυνση εκφράζεται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο.

Οποιαδήποτε περιστρεφόμενα σώματα, για παράδειγμα, ένας ρότορας σε έναν ηλεκτροκινητήρα, ένας δίσκος τόρνου, ένας τροχός αυτοκινήτου κατά την επιτάχυνση κ.λπ., κινούνται ανομοιόμορφα κατά την εκκίνηση και τη διακοπή.

Στιγμή δύναμης.

Για τη δημιουργία μιας περιστροφικής κίνησης δεν είναι μόνο σημαντικό το μέγεθος της δύναμης, αλλά και το σημείο εφαρμογής της. Είναι πολύ δύσκολο να ανοίξετε την πόρτα ασκώντας πίεση κοντά στους μεντεσέδες, αλλά ταυτόχρονα μπορείτε εύκολα να την ανοίξετε πιέζοντας την πόρτα όσο το δυνατόν πιο μακριά από τον άξονα περιστροφής, για παράδειγμα στη λαβή. Συνεπώς, για την περιστροφική κίνηση δεν έχει σημασία μόνο η τιμή της δύναμης, αλλά και η απόσταση από τον άξονα περιστροφής μέχρι το σημείο εφαρμογής της δύναμης. Επιπλέον, η κατεύθυνση της ασκούμενης δύναμης είναι επίσης σημαντική. Μπορείτε να τραβήξετε τον τροχό με πολύ μεγάλη δύναμη, αλλά και πάλι να μην τον κάνετε να περιστρέφεται.

Η ροπή δύναμης είναι ένα φυσικό μέγεθος ίσο με το γινόμενο της δύναμης ανά βραχίονα:

M = Fd,
όπου d είναι ο βραχίονας δύναμης ίσος με τη μικρότερη απόσταση από τον άξονα περιστροφής έως τη γραμμή δράσης της δύναμης (Εικ. 6.3).

Προφανώς, η ροπή της δύναμης είναι μέγιστη αν η δύναμη είναι κάθετη στο διάνυσμα της ακτίνας που τραβιέται από τον άξονα περιστροφής μέχρι το σημείο εφαρμογής αυτής της δύναμης.

Εάν σε ένα σώμα δρουν πολλές δυνάμεις, τότε η συνολική ροπή είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών κάθε δύναμης σε σχέση με έναν δεδομένο άξονα περιστροφής.

Στην περίπτωση αυτή, θα ληφθούν υπόψη οι ροπές των δυνάμεων που προκαλούν την περιστροφή του σώματος αριστερόστροφα θετικός(δύναμη 2), και οι ροπές των δυνάμεων που προκαλούν περιστροφή δεξιόστροφα είναι αρνητικός(δυνάμεις 1 και 3) (Εικ. 6.4).

Βασική εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης. Ακριβώς όπως αποδείχθηκε πειραματικά ότι η επιτάχυνση ενός σώματος είναι ευθέως ανάλογη με τη δύναμη που ασκεί σε αυτό, διαπιστώθηκε ότι η γωνιακή επιτάχυνση είναι ευθέως ανάλογη με τη στιγμή της δύναμης:

Αφήστε μια δύναμη να ενεργήσει σε ένα υλικό σημείο που κινείται σε κύκλο (Εικ. 6.5). Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, σε προβολή στην εφαπτομένη έχουμε ma k = F k Πολλαπλασιάζοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με r, παίρνουμε ma k r = F k r, ή.

mr 2 ε = M. (6.1)

Σημειώστε ότι σε αυτή την περίπτωση, το r είναι η μικρότερη απόσταση από τον άξονα περιστροφής μέχρι το υλικό σημείο και, κατά συνέπεια, το σημείο εφαρμογής της δύναμης.

Το γινόμενο της μάζας ενός υλικού σημείου επί το τετράγωνο της απόστασης από τον άξονα περιστροφής ονομάζεται ροπή αδράνειας υλικού σημείουκαι δηλώνεται με το γράμμα I.

Έτσι, η εξίσωση (6.1) μπορεί να γραφτεί με τη μορφή I ε = M, από όπου

Καλείται η εξίσωση (6.2). η βασική εξίσωση της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης.

Η εξίσωση (6.2) ισχύει και για περιστροφική κίνηση στερεός, έχοντας έναν σταθερό άξονα περιστροφής, όπου I είναι η ροπή αδράνειας του στερεού σώματος και M είναι η συνολική ροπή των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Σε αυτό το κεφάλαιο, κατά τον υπολογισμό της συνολικής ροπής των δυνάμεων, θεωρούμε μόνο δυνάμεις ή τις προβολές τους που ανήκουν σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής.

Η γωνιακή επιτάχυνση με την οποία περιστρέφεται ένα σώμα είναι ευθέως ανάλογη με το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό και αντιστρόφως ανάλογη με τη ροπή αδράνειας του σώματος σε σχέση με έναν δεδομένο άξονα περιστροφής.

Εάν το σύστημα αποτελείται από ένα σύνολο υλικών σημείων (Εικ. 6.6), τότε η ροπή αδράνειας αυτού του συστήματος σε σχέση με έναν δεδομένο άξονα περιστροφής OO" είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας κάθε υλικού σημείου σε σχέση με αυτό άξονας περιστροφής: I = m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 + ... .

Η ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος μπορεί να υπολογιστεί διαιρώντας το σώμα σε μικρούς όγκους, που μπορούν να θεωρηθούν υλικά σημεία, και αθροίζοντας τις ροπές αδράνειας τους σε σχέση με τον άξονα περιστροφής. Προφανώς, η ροπή αδράνειας εξαρτάται από τη θέση του άξονα περιστροφής.

Από τον ορισμό της ροπής αδράνειας προκύπτει ότι η ροπή αδράνειας χαρακτηρίζει την κατανομή της μάζας σε σχέση με τον άξονα περιστροφής.

Ας παρουσιάσουμε τις τιμές των ροπών αδράνειας για μερικά απολύτως άκαμπτα ομογενή σώματα μάζας m.

1. Ροπή αδράνειας του λεπτού ευθεία ράβδοςτο μήκος l σε σχέση με τον άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το μέσο της (Εικ. 6.7) ισούται με:

2. Ροπή αδράνειας ευθύς κύλινδρος(Εικ. 6.8), ή ο δίσκος σε σχέση με τον άξονα OO", που συμπίπτει με τον γεωμετρικό άξονα του κυλίνδρου ή του δίσκου:

3. Ροπή αδράνειας μπάλα

4. Ροπή αδράνειας λεπτό τσέρκιακτίνα R σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του:

Με τη φυσική της έννοια, η ροπή αδράνειας στην περιστροφική κίνηση παίζει το ρόλο της μάζας, δηλαδή χαρακτηρίζει την αδράνεια του σώματος σε σχέση με την περιστροφική κίνηση. Όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας, τόσο πιο δύσκολο είναι να κάνει ένα σώμα να περιστραφεί ή, αντίθετα, να σταματήσει ένα περιστρεφόμενο σώμα.