§5. Функцийн экстремум

Тодорхойлолт3 . 3 Зарим функц, түүний тодорхойлолтын муж, зарим (нээлттэй) интервал (боломжтой ба/эсвэл) байг. 7 . Функцийг дуудъя интервал дээр тасралтгүй, аль ч цэг дээр үргэлжилсэн бол, өөрөөр хэлбэл, тэнд байдаг (товчилсон хэлбэрээр:

-д (хаалттай) сегмент байя. Функцийг дуудъя сегмент дээр тасралтгүй, хэрэв интервал дээр үргэлжилсэн бол цэг дээр баруун талдаа тасралтгүй, цэг дээр зүүн талдаа үргэлжилдэг, өөрөөр хэлбэл

Жишээ3 . 13 Функцийг авч үзье (Хүнд талын функц) сегмент дээр , . Дараа нь энэ нь сегмент дээр үргэлжилдэг (энэ нь эхний төрлийн тасалдалтай хэдий ч).

3.15-р зураг Heaviside функцийн график

Үүнтэй төстэй тодорхойлолтыг маягтын хагас интервалд өгч болно, үүнд тохиолдлууд болон . Гэсэн хэдий ч, бид дурын дэд олонлогийн хувьд энэ тодорхойлолтыг дараах байдлаар нэгтгэж болно. Эхлээд ойлголтыг танилцуулъя өдөөгдсөнбааз руу: бүх төгсгөл нь -тэй хоосон бус огтлолцолтой суурь байг. -ээр тэмдэглэж, бүхний олонлогийг авч үзье. Дараа нь багц байгаа эсэхийг шалгахад хялбар болно суурь болно. Тиймээс , ба , энд , ба суурь нь цэгийн цоороогүй хоёр талт (зүүн, баруун) хөршүүдийн суурь юм (одоогийн бүлгийн эхэнд тэдгээрийн тодорхойлолтыг үзнэ үү).

Тодорхойлолт3 . 4 Функцийг дуудъя багц дээр тасралтгүй, Хэрэв

Энэ тодорхойлолт нь дээр болон интервал ба сегментийн хувьд тусгайлан өгөгдсөнтэй давхцаж байгааг харахад хялбар байдаг.

Бүх энгийн функцууд нь тодорхойлолтын талбарынхаа бүх цэгүүдэд тасралтгүй үргэлжилдэг тул тэдгээрийн тодорхойлолтын талбарт байрлах ямар ч интервал, сегментүүд дээр үргэлжилдэг гэдгийг санаарай.

Интервал ба хэрчим дэх тасралтгүй байдал нь цэгийн дагуу тодорхойлогддог тул теорем нь биелэх бөгөөд энэ нь теорем 3.1-ийн шууд үр дагавар юм.

Теорем3 . 5 Болъё Тэгээд -- функцууд ба -- дотор байрлах интервал эсвэл сегмент . Болъё Тэгээд төлөө тасралтгүй . Дараа нь функцууд , , төлөө тасралтгүй . Хэрэв нэмэлтээр хүн бүрийн өмнө , дараа нь функц мөн үргэлжилсээр байна .

Теорем 3.1 - Санал 3.3-ын нэгэн адил энэ теоремоос дараах мэдэгдэл гарна.

Санал3 . 4 Цөөн хэдэн бүх функцууд интервал эсвэл сегмент дээр үргэлжилдэг -- энэ бол шугаман орон зай:

Тасралтгүй функцийн илүү төвөгтэй шинж чанарыг дараах теоремоор илэрхийлнэ.

Теорем3 . 6 (тасралтгүй функцийн үндэсийн тухай) Функцийг зөвшөөр сегмент дээр тасралтгүй , ба Тэгээд -- өөр өөр тэмдгийн тоо. (Тодорхой байхын тулд бид үүнийг таамаглах болно , А .) Дараа нь дор хаяж нэг ийм үнэ цэнэ байдаг , Юу (өөрөөр хэлбэл, дор хаяж нэг үндэс байдаг тэгшитгэл ).

Баталгаа. Сегментийн дунд хэсгийг харцгаая. Дараа нь энэ нь аль нэг, эсвэл, эсвэл. Эхний тохиолдолд үндэс нь олддог: энэ нь . Үлдсэн хоёр тохиолдолд сегментийн төгсгөлд функц өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг хэсгийг анхаарч үзээрэй: тохиолдолд эсвэл тохиолдолд. Бид сегментийн сонгосон хагасыг тэмдэглэж, ижил процедурыг хэрэгжүүлнэ: үүнийг хоёр хагас болгон хувааж, , хаана , олно. Үндэс олдсон тохиолдолд; тохиолдолд бид сегментийг цаашид авч үзэх болно , тохиолдолд - сегмент гэх мэт.

3.16-р сегментийн дараалсан хуваагдал

Хэзээ нэгэн цагт үндэс олдох эсвэл үүрлэсэн сегментүүдийн систем бий болно гэдгийг бид олж мэднэ

дараагийн сегмент бүр өмнөхөөсөө хагас дахин урт байна. Дараалал нь буурахгүй, дээрээс нь хязгаарлагддаг (жишээлбэл, тоогоор); тиймээс (Теорем 2.13) энэ нь хязгаартай. Дараалал - өсөхгүй, доороос хязгаарлагдсан (жишээлбэл, тоогоор); энэ нь хязгаар байгаа гэсэн үг. Сегментүүдийн урт нь буурч буй геометрийн прогрессийг (хүлээн авагчтай) бүрдүүлдэг тул тэдгээр нь 0 байх хандлагатай байдаг. , тэр бол . Одоо тавья. Дараа нь

Тэгээд

функц тасралтгүй байдаг тул. Гэсэн хэдий ч, ба , ба гэсэн дарааллыг байгуулснаар тэгш бус байдалд хязгаарт шилжих теоремоор (Теорем 2.7) ба, өөрөөр хэлбэл, ба. Энэ нь , ба нь тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг.

Жишээ3 . 14 Функцийг авч үзье сегмент дээр. Эдгээр нь өөр өөр тэмдгийн тоонууд тул интервалын аль нэг цэгт функц 0 болж хувирдаг. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэстэй гэсэн үг юм.

Зураг 3.17 тэгшитгэлийн язгуурын график дүрслэл

Батлагдсан теорем нь үнэн хэрэгтээ ямар ч нарийвчлалтайгаар урьдчилан тодорхойлсон үндсийг олох арга замыг өгдөг. Энэ бол теоремын нотолгоонд тайлбарласан сегментийг хагасаар хуваах арга юм. Деривативын тухай ойлголт, шинж чанарыг судалсны дараа бид энэ болон бусад, илүү үр дүнтэй, үндсийг олох аргуудтай доор дэлгэрэнгүй танилцах болно.

Теорем нь түүний нөхцөл хангагдсан тохиолдолд язгуур нь өвөрмөц гэсэн үг биш гэдгийг анхаарна уу. Дараах зургаас харахад нэгээс олон үндэс байж болно (зураг дээр 3 байна).

Зураг 3.18 сегментийн төгсгөлд өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг функцийн хэд хэдэн үндэс

Гэсэн хэдий ч хэрэв функц нь төгсгөлд нь өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг сегмент дээр монотон нэмэгдэж эсвэл монотон буурч байвал хатуу монотон функц нь өөрийн утга тус бүрийг яг нэг цэг дээр авдаг тул үндэс нь өвөрмөц байна. 0 утгыг оруулаад.

Зураг 3.19. Нэг төрлийн функц нэгээс олон үндэстэй байж болохгүй

Тасралтгүй функцийн язгуур дээрх теоремын шууд үр дагавар нь дараах теорем бөгөөд энэ нь өөрөө математик шинжилгээнд маш чухал юм.

Теорем3 . 7 (тасралтгүй функцийн завсрын утгын тухай) Функцийг зөвшөөр сегмент дээр тасралтгүй Тэгээд (тодорхой байхын тулд бид үүнийг таамаглах болно ). Болъё -- хооронд нь хэдэн тоо байна Тэгээд . Тэгвэл ийм цэг бий , Юу .

Зураг 3.20 Үргэлжилсэн функц нь ямар ч завсрын утгыг авдаг

Баталгаа. Туслах функцийг авч үзье , Хаана . Дараа нь Тэгээд . Функц тасралтгүй үргэлжлэх нь тодорхой бөгөөд өмнөх теоремоор ийм цэг байдаг. Гэхдээ энэ тэгш байдал нь үүнийг илэрхийлдэг.

Хэрэв функц тасралтгүй биш бол бүх завсрын утгыг авахгүй байхыг анхаарна уу. Жишээлбэл, Heaviside функц (Жишээ 3.13-ыг үзнэ үү) , утгуудыг авдаг боловч интервалыг оруулаад хаана ч завсрын утгыг авдаггүй. Баримт нь Heaviside функц нь яг интервалд байрлах цэг дээр тасалдалтай байдаг.

Интервал дээр үргэлжилсэн функцүүдийн шинж чанарыг цаашид судлахын тулд бодит тооны системийн дараах нарийн шинж чанарууд хэрэгтэй болно (бид үүнийг монотон нэмэгдэж буй хязгаарлагдмал функцийн хязгаарын тухай теоремтой холбогдуулан 2-р бүлэгт аль хэдийн дурдсан): доор хязгаарлагдсан аливаа олонлог (өөрөөр хэлбэл, бүх болон зарим тоог дууддаг доод ирмэгбагц) боломжтой яг доод ирмэг, өөрөөр хэлбэл бүх тоонуудын хамгийн том нь. Үүний нэгэн адил, хэрэв олонлог дээр хязгаарлагдсан бол энэ нь байна яг дээд хязгаар: энэ бол хамгийн жижиг нь дээд нүүрүүд(бүгдэнд зориулагдсан).

Зураг 3.21 Хязгаарлагдмал олонлогийн доод ба дээд хязгаар

Хэрэв , тэгвэл өсөхгүй байх хандлагатай цэгүүдийн дараалал байна. Үүний нэгэн адил хэрэв , тэгвэл -д чиглэдэг цэгүүдийн буурахгүй дараалал байна.

Хэрэв цэг олонлогт хамаарах бол энэ олонлогийн хамгийн жижиг элемент болно: ; үүнтэй адил, хэрэв , Тэр .

Үүнээс гадна, цаашдын хувьд бидэнд дараахь зүйл хэрэгтэй болно

Лемма3 . 1 Болъё -- сегмент дээрх тасралтгүй функц , мөн олон тэдгээр цэгүүд , аль нь (эсвэл , эсвэл ) хоосон биш. Дараа нь элбэг дэлбэг хамгийн бага үнэ цэнэ байдаг , ийм хүн бүрийн өмнө .

Зураг 3.22 Функц заасан утгыг авах хамгийн бага аргумент

Баталгаа. Энэ нь хязгаарлагдмал олонлог (энэ нь сегментийн нэг хэсэг) тул инфимумтай байдаг. Дараа нь нэмэгдэх бус дараалал бий. Түүнээс гадна багцын тодорхойлолтоор. Тиймээс бид хязгаарыг давж, нэг талаас,

нөгөө талаас функцийн тасралтгүй байдлын улмаас

Энэ нь цэг нь олонлогт хамаарах ба .

Олонлог тэгш бусаар тодорхойлогддог тохиолдолд бид бүгдийн төлөө ба тэгш бус байдалд хязгаарт шилжих теоремоор тодорхойлогддог.

хаанаас , энэ нь гэсэн утгатай ба . Үүний нэгэн адил тэгш бус байдлын хувьд тэгш бус байдлын хязгаарт шилжих нь өгдөг

хаанаас, мөн .

Теорем3 . 8 (тасралтгүй функцийн хязгаарлагдмал байдлын тухай) Функцийг зөвшөөр сегмент дээр тасралтгүй . Дараа нь хязгаарлагдмал , өөрөөр хэлбэл ийм тогтмол байдаг , Юу хүн бүрийн өмнө .

Зураг 3.23 хэрчим дээр үргэлжилсэн функц хязгаарлагдмал

Баталгаа. Эсрэгээр нь төсөөлье: жишээлбэл, дээрээс нь хязгаарлаж болохгүй. Дараа нь бүх багц , , , хоосон биш байна. Өмнөх леммагаар эдгээр олонлог бүр нь хамгийн бага утгатай , . Үүнийг харуулъя

Үнэхээр, . Хэрэв жишээлбэл -ийн аль нэг цэг нь ба хооронд байвал

өөрөөр хэлбэл, ба хоорондын завсрын утга. Энэ нь тасралтгүй функцийн завсрын утгын теоремоор ийм цэг байдаг гэсэн үг юм , Мөн . Гэхдээ таамаглалаас үл хамааран - багцын хамгийн бага утга. Энэ нь бүгдэд зориулагдсан болно.

Үүний нэгэн адил бүхний төлөө , бүхний төлөө гэх мэт нь цаашид нотлогддог. Тэгэхээр дээрх тоогоор хязгаарлагдсан өсөх дараалал байна. Тиймээс энэ нь оршин байдаг. Функцийн тасралтгүй байдлаас үзэхэд байна гэсэн үг , Гэхдээ үед, тиймээс ямар ч хязгаарлалт байхгүй. Үүссэн зөрчил нь функц нь дээр хязгаарлагдмал болохыг баталж байна.

Энэ нь доороос хязгаарлагдмал байгаа нь теоремын мэдэгдлийг илэрхийлдэг ижил төстэй байдлаар батлагдсан.

Теоремын нөхцлийг сулруулах боломжгүй нь ойлгомжтой: хэрэв функц тасралтгүй биш бол интервалаар хязгаарлагдах шаардлагагүй (бид функцийг жишээ болгон өгдөг.

сегмент дээр. Энэ функц нь интервалаар хязгаарлагдахгүй, учир нь at нь хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэгтэй тул цагт. Теоремын нөхцөл дэх сегментийг интервал эсвэл хагас интервалаар солих нь бас боломжгүй юм: жишээ болгон хагас интервал дээр ижил функцийг авч үзье. Функц нь энэ хагас интервал дээр тасралтгүй, гэхдээ хязгааргүй, учир нь -д.

Өгөгдсөн интервал дээрх функцийг дээрээс болон доороос хязгаарлахад ашиглаж болох хамгийн сайн тогтмолуудыг олох нь уг интервал дээрх тасралтгүй функцын хамгийн бага ба максимумыг олох асуудал руу биднийг хүргэдэг. Энэ асуудлыг шийдэх боломжийг дараах теоремоор тайлбарлав.

Теорем3 . 9 (тасралтгүй функцээр экстремумд хүрэх тухай) Функцийг зөвшөөр сегмент дээр тасралтгүй . Дараа нь нэг цэг бий , ийм хүн бүрийн өмнө (тэр бол -- хамгийн бага оноо: ), мөн нэг цэг бий , ийм хүн бүрийн өмнө (тэр бол -- хамгийн их оноо: ). Өөрөөр хэлбэл, хамгийн бага ба дээд тал нь 8 сегмент дэх тасралтгүй функцийн утгууд байдаг бөгөөд зарим цэгүүдэд хүрдэг Тэгээд энэ сегмент.

Зураг 3.24 Сегмент дээр үргэлжилсэн функц нь хамгийн их ба хамгийн багадаа хүрдэг

Баталгаа. Өмнөх теоремын дагуу функц нь дээрээс хязгаарлагддаг тул функцийн утгуудын яг дээд хязгаар нь -- тоо юм. . Тиймээс , ,..., ,... олонлогууд хоосон биш бөгөөд өмнөх лемма нь хамгийн бага утгыг агуулна. , . Эдгээр нь буурахгүй (энэ мэдэгдэл нь өмнөх теоремтой яг ижил аргаар батлагдсан):

ба дээрээс хязгаарлагддаг. Иймд монотон хязгаарлагдмал дарааллын хязгаарын тухай теоремын дагуу хязгаар байдаг тул , дараа нь

тэгш бус байдлын хязгаарт шилжих теоремоор өөрөөр хэлбэл . Гэхдээ хүн бүртэй, тэр дундаа. Эндээс харахад функцийн хамгийн дээд цэг нь цэг дээр хүрдэг.

Хамгийн бага цэг байгаа нь ижил төстэй байдлаар нотлогддог.

Энэ теоремд өмнөх нэгэн адил нөхцөлийг сулруулах боломжгүй: хэрэв функц тасралтгүй биш бол хязгаарлагдмал байсан ч сегмент дээрх хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгад хүрэхгүй байж болно. Жишээлбэл, функцийг авч үзье

сегмент дээр. Энэ функц нь интервал дээр хязгаарлагддаг (мэдээж) ба , гэхдээ энэ нь сегментийн аль ч цэг дээр 1 утгыг авдаггүй (1 биш гэдгийг анхаарна уу). Үнэн хэрэгтээ энэ функц нь цэг дээр эхний төрлийн тасалдалтай байдаг тул хязгаар нь 0 цэг дээрх функцийн утгатай тэнцүү биш байна. Цаашлаад тасралтгүй функц нь интервал эсвэл бусад олонлог дээр тодорхойлогддоггүй. хаалттай сегмент (хагас интервал, хагас тэнхлэгт) нь хэт их утгыг авч чадахгүй. Жишээ болгон интервал дээрх функцийг авч үзье. Функц үргэлжилсэн байх нь тодорхой бөгөөд , гэхдээ функц нь интервалын аль ч цэгт 0 болон 1 утгыг ч авдаггүй. Функцийг бас авч үзье тэнхлэгийн гол дээр. Энэ функц нь дээр үргэлжилдэг, нэмэгддэг, хамгийн бага утгыг 0 цэг дээр авдаг, гэхдээ аль ч цэг дээр хамгийн их утгыг авдаггүй (хэдийгээр дээрээс нь тоогоор хязгаарлагддаг.

Практик талаас нь авч үзвэл функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд деривативыг ашиглах нь хамгийн их сонирхол татдаг. Энэ юутай холбоотой вэ? Ашиг нэмэгдүүлэх, зардлыг багасгах, тоног төхөөрөмжийн оновчтой ачааллыг тодорхойлох ... Өөрөөр хэлбэл, амьдралын олон салбарт бид зарим параметрүүдийг оновчтой болгох асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Эдгээр нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох даалгавар юм.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ихэвчлэн тодорхой X интервалаар хайдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь функцын бүхэл бүтэн муж эсвэл тодорхойлолтын домэйны нэг хэсэг юм. X интервал нь өөрөө сегмент, нээлттэй интервал байж болно , хязгааргүй интервал.

Энэ нийтлэлд бид нэг хувьсагчийн y=f(x) тодорхой тодорхойлогдсон функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох талаар ярих болно.

Хуудасны навигаци.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга - тодорхойлолт, дүрслэл.

Үндсэн тодорхойлолтуудыг товчхон авч үзье.

Функцийн хамгийн том утга хэнд ч зориулсан тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Функцийн хамгийн бага утга X интервал дээрх y=f(x)-ийг ийм утга гэнэ хэнд ч зориулсан тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Эдгээр тодорхойлолтууд нь зөн совинтой байдаг: функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь абсцисса дээр авч үзэж буй интервал дээрх хамгийн том (хамгийн бага) хүлээн зөвшөөрөгдсөн утга юм.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүд- эдгээр нь функцийн дериватив тэг болох аргументийн утгууд юм.

Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олоход яагаад суурин цэгүүд хэрэгтэй вэ? Энэ асуултын хариултыг Фермагийн теоремоор өгсөн болно. Энэ теоремоос хэрэв дифференциалагдах функц нь аль нэг цэгт экстремум (орон нутгийн минимум эсвэл орон нутгийн максимум) байвал энэ цэг нь хөдөлгөөнгүй байна гэсэн үг. Тиймээс функц нь ихэвчлэн X интервал дээрх хамгийн том (хамгийн бага) утгыг энэ интервалаас хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн аль нэгэнд авдаг.

Түүнчлэн, функц нь энэ функцийн анхны дериватив байхгүй, функц өөрөө тодорхойлогддог цэгүүдэд ихэвчлэн хамгийн том, хамгийн бага утгуудыг авч болно.

Энэ сэдвээр хамгийн түгээмэл асуултуудын нэг болох "Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг тодорхойлох боломжтой юу" гэсэн асуултанд нэн даруй хариулъя. Үгүй ээ, үргэлж биш. Заримдаа X интервалын хил нь функцийн тодорхойлолтын хүрээний хилтэй давхцдаг эсвэл X интервал нь хязгааргүй байдаг. Хязгааргүй болон тодорхойлолтын хүрээн дэх зарим функцууд нь хязгааргүй том ба хязгааргүй жижиг утгыг хоёуланг нь авч болно. Эдгээр тохиолдолд функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгын талаар юу ч хэлж чадахгүй.

Тодорхой болгохын тулд бид график дүрслэлийг өгөх болно. Зургийг харвал олон зүйл илүү тодорхой болно.

Сегмент дээр

Эхний зурагт функц нь сегмент дотор байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y) ба хамгийн бага (min y) утгуудыг авдаг [-6;6].

Хоёрдахь зурагт үзүүлсэн тохиолдлыг авч үзье. сегментийг өөрчилье. Энэ жишээнд функцийн хамгийн бага утгыг хөдөлгөөнгүй цэг дээр, хамгийн том утгыг интервалын баруун хилтэй харгалзах абсцисс бүхий цэг дээр олж авна.

Зураг 3-т [-3;2] сегментийн хилийн цэгүүд нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгад харгалзах цэгүүдийн абсциссууд байна.

Нээлттэй интервал дээр

Дөрөв дэх зурагт функц нь нээлттэй интервал (-6;6) дотор байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y) ба хамгийн бага (min y) утгуудыг авдаг.

Интервал дээр хамгийн том утгын талаар дүгнэлт хийх боломжгүй.

Хязгааргүйд

Долдугаар зурагт үзүүлсэн жишээн дээр функц нь абсцисса x=1 байх хөдөлгөөнгүй цэг дээр хамгийн том утгыг (max y) авах ба интервалын баруун хил дээр хамгийн бага утгыг (min y) олж авна. Хасах хязгааргүй үед функцын утга асимптотоор y=3-д ойртоно.

Интервалд функц нь хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгад хүрдэггүй. Баруун талаас х=2 ойртох тусам функцын утгууд нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байдаг (х=2 шугам нь босоо асимптот), абсцисса нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай тул функцын утга нь асимптотоор y=3-д ойртоно. Энэ жишээний график дүрслэлийг Зураг 8-д үзүүлэв.

Сегмент дээрх тасралтгүй функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм.

Хэсэг дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритмыг бичье.

1. Бид функцийн тодорхойлолтын домэйныг олж, бүх сегментийг агуулж байгаа эсэхийг шалгана.
2. Бид эхний дериватив байхгүй, сегментэд агуулагдах бүх цэгүүдийг олдог (ихэвчлэн ийм цэгүүдийг модулийн тэмдгийн дор аргументтай функцууд болон бутархай-рациональ илтгэгчтэй чадлын функцүүдэд олдог). Хэрэв ийм цэг байхгүй бол дараагийн цэг рүү шилжинэ үү.
3. Бид сегмент дотор байрлах бүх суурин цэгүүдийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, тохирох үндсийг сонгоно. Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг байхгүй эсвэл тэдгээрийн аль нь ч сегментэд ороогүй бол дараагийн цэг рүү шилжинэ.
4. Бид функцийн утгыг сонгосон суурин цэгүүд (хэрэв байгаа бол), эхний дериватив байхгүй цэгүүд (хэрэв байгаа бол), түүнчлэн x = a ба x = b цэгүүдэд тооцдог.
5. Функцийн олж авсан утгуудаас бид хамгийн том ба хамгийн жижиг утгыг сонгоно - тэдгээр нь функцийн шаардлагатай хамгийн том ба хамгийн бага утгууд байх болно.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох жишээг шийдвэрлэх алгоритмд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол

• сегмент дээр;
• сегмент дээр [-4;-1] .

Шийдэл.

Функцийн тодорхойлолтын домэйн нь тэгээс бусад бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм. Хоёр сегмент хоёулаа тодорхойлолтын домэйнд багтдаг.

Функцийн деривативыг ол:

Функцийн дериватив нь сегмент ба [-4;-1] бүх цэгүүдэд байгаа нь ойлгомжтой.

Бид тэгшитгэлээс суурин цэгүүдийг тодорхойлно. Зөвхөн жинхэнэ үндэс нь x=2. Энэ суурин цэг нь эхний сегментэд ордог.

Эхний тохиолдолд бид функцийн утгыг сегментийн төгсгөл ба суурин цэг дээр тооцоолно, өөрөөр хэлбэл x=1, x=2 ба x=4:

Тиймээс функцийн хамгийн их утга x=1, хамгийн бага утгад хүрнэ – x=2 үед.

Хоёрдахь тохиолдолд бид функцийн утгыг зөвхөн сегментийн төгсгөлд тооцоолно [-4;-1] (энэ нь нэг суурин цэг агуулаагүй тул):

Шийдэл.

Функцийн домайнаас эхэлье. Бутархайн хуваагч дахь дөрвөлжин гурвалжин нь алга болохгүй.

Асуудлын мэдэгдлийн бүх интервалууд функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарах эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Функцийг ялгаж үзье:

Мэдээжийн хэрэг, дериватив нь функцийг тодорхойлох бүх талбарт байдаг.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олцгооё. Дериватив нь 0-д очдог. Энэ суурин цэг (-3;1] ба (-3;2) интервалд багтана.

Одоо та цэг бүр дээр олж авсан үр дүнг функцийн графиктай харьцуулж болно. Цэнхэр тасархай шугамууд нь асимптотуудыг илтгэнэ.

Энэ үед бид функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хайж дуусгаж болно. Энэ нийтлэлд авч үзсэн алгоритмууд нь хамгийн бага үйлдлээр үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог. Гэсэн хэдий ч эхлээд функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг тодорхойлж, дараа нь аль ч интервал дээрх функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгын талаар дүгнэлт хийх нь ашигтай байж болно. Энэ нь илүү тодорхой дүр зураг, үр дүнгийн нарийн үндэслэлийг өгдөг.

Энгийн функцүүдийн тасралтгүй байдал

Функцийн тасралтгүй байдлын тухай теоремууд нь хязгааруудын харгалзах теоремуудаас шууд гардаг.

Теорем.Хоёр тасралтгүй функцын нийлбэр, үржвэр ба хуваагч нь тасралтгүй функц юм (хуваагч нь тэг байх аргументийн утгуудаас бусад хэсгийн хувьд).

Теорем.Функцуудыг зөвшөөр у= φ (x) цэг дээр тасралтгүй байна X 0 ба функц y = е(у) цэг дээр тасралтгүй байна у 0 = φ (X 0). Дараа нь нарийн төвөгтэй функц е(φ (x)) тасралтгүй функцээс бүрдэх, цэг дээр тасралтгүй байна x 0 .

Теорем.Хэрэв функц бол цагт = е(X) үргэлжилсэн бөгөөд хатуу нэгэн хэвийн байна [ А; б] тэнхлэгүүд Өө, дараа нь урвуу функц цагт = φ (X) нь мөн харгалзах сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд нэгэн хэвийн байна [ в;г] тэнхлэгүүд OU(нотолгоо байхгүй).

Интервалд тасралтгүй үргэлжлэх функцууд нь хэд хэдэн чухал шинж чанартай байдаг. Тэдгээрийг нотлох баримтгүйгээр теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Теорем (Weierstrass). Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй байвал энэ сегмент дээрх хамгийн их ба хамгийн бага утгад хүрнэ.

Зураг 5-т үзүүлсэн функц цагт = е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна А; б], хамгийн их утгыг авна Мцэг дээр x 1 ба хамгийн жижиг м-цэг дээр X 2. Хэнд ч зориулав X [А; б] тэгш бус байдал хадгалагдана м ≤ е(x) ≤ М.

Үр дагавар.Хэрэв функц нь интервал дээр тасралтгүй байвал энэ интервал дээр хязгаарлагдана.

Теорем (Болзано - Коши).Хэрэв функц бол цагт= е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а; б] ба төгсгөлд нь тэгш бус утгыг авдаг е(а) = АТэгээд е(б) = =IN, дараа нь энэ сегмент дээр завсрын бүх утгыг авна АТэгээд IN.

Геометрийн хувьд теорем нь ойлгомжтой (6-р зургийг үз).

Ямар ч тооны хувьд ХАМТ, хооронд дүгнэв АТэгээд IN, нэг цэг бий -тайэнэ сегмент дотор ийм е(-тай) = ХАМТ. Чигээрээ цагт = ХАМТфункцийн графикийг дор хаяж нэг цэгээр огтолно.

Үр дагавар.Хэрэв функц бол цагт = е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна А; б] ба түүний төгсгөлд өөр өөр тэмдгийн утгыг авч, дараа нь сегмент дотор [ А; б] дор хаяж нэг цэг байна -тай, үүнд энэ функц е(x) тэг рүү очно: е(-тай) = 0.

Теоремын геометрийн утга: хэрэв тасралтгүй функцийн график тэнхлэгийн нэг талаас дамжвал Өөнөгөө рүү, дараа нь тэнхлэгтэй огтлолцоно Үхэр(7-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 7.

Тодорхойлолт 4. Хэрэв функц нь энэ сегментийн цэг бүрт тасралтгүй байвал (а цэг дээр энэ нь баруун талдаа тасралтгүй, өөрөөр хэлбэл, b цэг дээр зүүн талдаа үргэлжилдэг, өөрөөр хэлбэл) функцийг сегмент дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Бүх үндсэн үндсэн функцүүд нь тодорхойлолтынхоо хүрээнд тасралтгүй байдаг.

Интервал дээр тасралтгүй үргэлжлэх функцүүдийн шинж чанарууд:

• 1) Хэрэв функц нь интервал дээр тасралтгүй байвал энэ интервал дээр хязгаарлагдана (Вейерштрассын эхний теорем).
• 2) Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй байвал энэ сегмент дээр хамгийн бага утга ба хамгийн их утгад хүрнэ (Weierstrass-ийн хоёр дахь теорем) (2-р зургийг үз).
• 3) Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд төгсгөлд нь өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг бол сегмент дотор дор хаяж нэг цэг байна (Болзано-Коши теорем).

Функцын тасрах цэг ба тэдгээрийн ангилал

функцын тасралтгүй байдлын цэгийн сегмент

Тасралтгүй байдлын нөхцөл хангагдаагүй цэгүүдийг энэ функцийн таслах цэг гэж нэрлэдэг. Хэрэв функцийн тасалдлын цэг бол 1, 2-т заасан функцийн тасралтгүй байдлын гурван нөхцлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй болно, тухайлбал:

1) Функц нь цэгийн ойролцоо тодорхойлогддог боловч тухайн цэг дээр тодорхойлогдоогүй. 2-р жишээнд авч үзсэн функц а) энэ цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул тухайн цэг дээр тасалдалтай байна.

2) Функц нь цэг болон түүний эргэн тойронд тодорхойлогддог, нэг талт хязгаарууд байдаг ба гэхдээ тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү биш: . Жишээлбэл, жишээ 2-ын b) функц нь цэг болон түүний ойролцоо тодорхойлогддог, гэхдээ a.

3) Функц нь цэг болон түүний эргэн тойронд тодорхойлогддог, нэг талт хязгаарууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү боловч цэг дээрх функцийн утгатай тэнцүү биш: . Жишээлбэл, функц. Энд тасрах цэг байна: энэ үед функц тодорхойлогддог, нэг талт хязгаарууд байдаг ба бие биетэйгээ тэнцүү, гэхдээ, өөрөөр хэлбэл.

Функцийн тасрах цэгүүдийг дараах байдлаар ангилна.

Тодорхойлолт 5. Хэрэв энэ цэгт хязгаарлагдмал хязгаарууд байгаа боловч тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү биш бол тухайн цэгийг нэгдүгээр төрлийн функцийн тасралт цэг гэнэ: . Хэмжигдэхүүнийг функцийн цэг дээрх үсрэлт гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 6. Хэрэв энэ цэг дээр хязгаарлагдмал хязгаарууд байгаа ба тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү бол тухайн цэгийг функцийн зөөврийн тасалдлын цэг гэж нэрлэдэг: , гэхдээ функц өөрөө цэг дээр тодорхойлогдоогүй, эсвэл тодорхойлогддог, гэхдээ.

Тодорхойлолт 7. Хэрэв энэ цэгт ядаж нэг талт хязгаар (эсвэл) байхгүй эсвэл хязгааргүйтэй тэнцүү байвал цэгийг хоёр дахь төрлийн функцийн тасалдал гэж нэрлэдэг.

Жишээ 3. Дараах функцүүдийн таслах цэгийг олж, төрлийг нь тодорхойлно уу: a) b)

Шийдэл. a) Функц нь интервалаар тодорхойлогддог ба тасралтгүй байх ба эдгээр интервал тус бүр дээр тасралтгүй элементар функцээр тодорхойлогддог. Иймээс өгөгдсөн функцийн таслах цэгүүд нь зөвхөн функц нь аналитик даалгавраа өөрчлөх цэгүүд байж болно, өөрөөр хэлбэл. оноо ба Функцийн нэг талт хязгаарыг цэг дээр олъё.

Нэг талын хязгаарууд байдаг бөгөөд хязгаарлагдмал боловч бие биентэйгээ тэнцүү биш тул цэг нь эхний төрлийн тасалдал юм. Функцийн үсрэлт:

Бидний олсон цэгийн хувьд.

Интервал дээр тасралтгүй функцүүдийн үндсэн теоремуудын тодорхойлолт, томъёолол. Үүнд: Интервал дээр үргэлжилсэн функцийн хязгаарлагдмал байдлын тухай Вейерштрассын анхны теорем; Тасралтгүй функцийн хамгийн их ба минимумын тухай Вейерштрассын хоёр дахь теорем; Болзано – Коши завсрын утгын теорем.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал - шинж чанар ба теоремууд

Тодорхойлолт ба теоремууд

Интервал дээр үргэлжилсэн функцийн тодорхойлолт
Функц нь нээлттэй интервалын бүх цэгүүдэд (at) тасралтгүй, a, b цэгүүдэд тус тус баруун, зүүн талд тасралтгүй байвал функцийг (at) интервалд тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Интервал дээр үргэлжилсэн функцийн хязгаарлагдмал байдлын тухай Вейерштрассын анхны теорем

Хэрэв функц нь интервал дээр тасралтгүй байвал энэ интервал дээр хязгаарлагдана.
Баталгаа

Хамгийн их (хамгийн бага) хүрэх боломжийг тодорхойлох
Хэрэв аргумент байгаа бол функц олонлог дээрх хамгийн ихдээ (хамгийн багадаа) хүрнэ
бүгдэд нь .

Дээд (доод) нүүрний хүртээмжийг тодорхойлох
Хэрэв аргумент байгаа бол функц олонлог дээрх дээд (доод) хязгаартаа хүрнэ
.

Эдгээр тодорхойлолтууд нь ижил утгатай болохыг харахад хялбар байдаг. Хэрэв цагт,
, Тэр.
Хэрэв тийм бол.

Хамгийн их (хамгийн бага) ба дээд (доод) хязгаарын хоорондох ялгаа нь хамгийн их (хамгийн бага) нь олонлогт (энэ тохиолдолд функцын утгуудын багц) хамаарах бөгөөд дээд (доод) хязгаар нь үүнд хамаарахгүй байж болно. тогтоосон. Жишээлбэл, функцийг нээлттэй интервал дээр өгье. Энэ интервал дээр функц нь дээд ба доод хязгаартай байна:
.
Гэхдээ үүнд дээд ба доод хэмжээ гэж байдаггүй. Үнэн хэрэгтээ, хэн нэгний хувьд функцийн утгууд нь дараахаас их, бага байх болно -д хамаарах ийм тоонуудыг үргэлж зааж өгөх боломжтой байдаг.
.
Сегмент дээр функц нь дээд ба доод хязгаартай, мөн хамгийн их ба хамгийн багатай:
.
Мөн дээд (доод) хязгаар нь нэмэх (хасах) хязгаартай тэнцүү байж болно: , хамгийн их (хамгийн бага) нь хязгааргүй тоо байж болохгүй.

Харьцуулах үйлдлийг тодорхойлсон аливаа багц нь дээд ба доод хязгаартай байдаг.

Тасралтгүй функцийн хамгийн их ба минимумын тухай Вейерштрассын хоёр дахь теорем

Хэсэг дээр үргэлжилсэн функц нь түүний дээд доод хязгаарт хүрдэг, эсвэл энэ нь сегмент дээр хамгийн их ба хамгийн багадаа хүрдэг.
Баталгаа

Энэ теорем нь : сегментэд хамаарах функцийн утгууд нь доод ба дээд хязгаартай тэнцүү цэгүүд байдаг гэсэн үг юм.
.
Учир нь дээд ба доод хязгаарын тодорхойлолтод үндэслэн:
цагт,
цагт,
ба учир нь , тэгвэл тэдгээр нь сегмент дээрх функцын хамгийн бага ба хамгийн их утга болно.

Болзано-Коши хоёр дахь завсрын утгын теорем

Функцийг сегмент дээр тасралтгүй байг. C нь сегментийн төгсгөлд байрлах функцийн утгуудын хооронд байрлах дурын тоо байг: ба . Дараа нь нэг цэг бий
.
сегмент дээр тасралтгүй байна. Үүнийг орхи.
Дараа нь функц нь зөвхөн эдгээр утгуудын бүх утгыг интервал дээр авна.

цагт.
Лавлагаа:
О.И. Бесов. Математик анализын лекцүүд. 1-р хэсэг. Москва, 2004 он.

CM. Никольский. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 1983 он.