Нахождение расстояния от точки до плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость π и произвольную точку M 0 . Выберем для плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке М 1 ∈ π, и пусть р(М 0 ,π) - расстояние от точки М 0 до плоскости π. Тогда (рис. 5.5)

р(М 0 ,π) = | пр n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

так как |n| = 1.

Если плоскость π задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то ее нормальным вектором является вектор с координатами {A; B; C} и в качестве единичного нормального вектора можно выбрать

Пусть (x 0 ; y 0 ; z 0) и (x 1 ; y 1 ; z 1) координаты точек M 0 и M 1 . Тогда выполнено равенство Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, так как точка M 1 принадлежит плоскости, и можно найти координаты вектора M 1 M 0 : M 1 M 0 = {x 0 -x 1 ; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 }. Записывая скалярное произведение nM 1 M 0 в координатной форме и преобразуя (5.8), получаем

поскольку Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Итак, чтобы вычислить расстояние от точки до плоскости нужно подставить координаты точки в общее уравнение плоскости, а затем абсолютную величину результата разделить на нормирующий множитель, равный длине соответствующего нормального вектора.

ЗАДАЧИ C2 ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ НА НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Куликова Анастасия Юрьевна

студент 5 курса, кафедра мат. анализа, алгебры и геометрии ЕИ КФУ, РФ, Республика Татарстан, г. Елабуга

Ганеева Айгуль Рифовна

научный руководитель, канд. пед. наук, доцент ЕИ КФУ, РФ, Республика Татарстан, г. Елабуга

В заданиях ЕГЭ по математике в последние годы появляются задачи на вычисление расстояния от точки до плоскости. В данной статье на примере одной задачи рассмотрены различные методы нахождения расстояния от точки до плоскости. Для решения различных задач можно использовать наиболее подходящий метод. Решив задачу одним методом, другим методом можно проверить правильность полученного результата.

Определение. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Задача. Дан прямоугольный параллелепипед А B С DA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами AB =2, BC =4, AA 1 =6. Найдите расстояние от точки D до плоскости АС D 1 .

1 способ . Используя определение . Найти расстояние r(D , АС D 1) от точки D до плоскости АС D 1 (рис. 1).

Рисунок 1. Первый способ

Проведем DH ⊥АС , следовательно по тереме о трех перпендикулярах D 1 H ⊥АС и (DD 1 H )⊥АС . Проведем прямую DT перпендикулярно D 1 H . Прямая DT лежит в плоскости DD 1 H , следовательно DT ⊥AC . Следовательно, DT ⊥АС D 1.

А DC найдем гипотенузу АС и высоту DH

Из прямоугольного треугольника D 1 DH найдем гипотенузу D 1 H и высоту DT

Ответ: .

2 способ. Метод объемов (использование вспомогательной пирамиды ). Задачу данного типа можно свести к задаче о вычислении высоты пирамиды, где высота пирамиды является искомым расстоянием от точки до плоскости. Доказать, что эта высота и есть искомое расстояние; найти объём этой пирамиды двумя способами и выразить эту высоту.

Отметим, что при данном методе нет необходимости в построении перпендикуляра из данной точки к данной плоскости.

Прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.

AB =CD =2, BC =AD =4, AA 1 =6.

Искомым расстоянием будет высота h пирамиды ACD 1 D , опущенной из вершины D на основание ACD 1 (рис. 2).

Вычислим объем пирамиды ACD 1 D двумя способами.

Вычисляя, первым способом за основание примем ∆ ACD 1 , тогда

Вычисляя, вторым способом за основание примем ∆ ACD , тогда

Приравняем правые части последних двух равенств, получим

Рисунок 2. Второй способ

Из прямоугольных треугольников АС D , ADD 1 , CDD 1 найдем гипотенузы, используя теорему Пифагора

ACD

Вычислим площадь треугольника АС D 1 , используя формулу Герона

Ответ: .

3 способ. Координатный метод.

Пусть дана точка M (x 0 ,y 0 ,z 0) и плоскость α , заданная уравнением ax +by +cz +d =0 в прямоугольной декартовой системе координат. Расстояние от точки M до плоскости α можно вычислить по формуле:

Введем систему координат (рис. 3). Начало координат в точке В ;

Прямая АВ - ось х , прямая ВС - ось y , прямая BB 1 - ось z .

Рисунок 3. Третий способ

B (0,0,0), А (2,0,0), С (0,4,0), D (2,4,0), D 1 (2,4,6).

Пусть a х+ by + cz + d =0 – уравнение плоскости ACD 1 . Подставляя в него координаты точек A , C , D 1 получим:

Уравнение плоскости ACD 1 примет вид

Ответ: .

4 способ. Векторный метод.

Введем базис (рис. 4) , .

Рисунок 4. Четвертый способ

, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 11

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

• обобщение и систематизация знаний и умений учащихся;
• развитие умений анализировать, сравнивать, делать выводы.

Оборудование:

• мультимедийный проектор;
• компьютер;
• листы с текстами задач

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационный момент

II. Этап актуализации знаний (слайд 2)

Повторяем как определяется расстояние от точки до плоскости

III. Лекция (cлайды 3-15)

На занятии мы рассмотрим различные способы нахождения расстояния от точки до плоскости.

Первый метод: поэтапно-вычислительный

Расстояние от точки М до плоскости α:
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на прямой a, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α;
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на плоскости β, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α.

Решим следующие задачи:

№1. В кубе А…D 1 найти расстояние от точки С 1 до плоскости АВ 1 С.

Осталось вычислить значение длины отрезка О 1 Н.

№2. В правильной шестиугольной призме А…F 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA 1 .

Следующий метод: метод объемов .

Если объем пирамиды АВСМ равен V, то расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При решении задач мы используем равенство объемов одной фигуры, выраженные двумя различными способами.

Решим следующую задачу:

№3. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если.

При решении задач координатным методом расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле ρ(М; α) = , где М(х 0 ; у 0 ; z 0), а плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0

Решим следующую задачу:

№4. В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDC 1 .

Введем систему координат с началом в точке А, ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z – по ребру АА 1 . Тогда координаты точек В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки В, D, C 1 .

Тогда – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Следовательно, ρ =

Следующий метод, который можно использовать при решении задач данного типа – метод опорных задач.

Применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые формулируются как теоремы.

Решим следующую задачу:

№5. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки D 1 до плоскости АВ 1 С.

Рассмотрим применение векторного метода.

№6. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDС 1 .

Итак, мы рассмотрели различные способы, которые можно использовать при решении данного типа задач. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и ваших предпочтений.

IV. Работа в группах

Попробуйте решить задачу разными способами.

№1. Ребро куба А…D 1 равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC 1 .

№2. В правильном тетраэдре АВСD с ребром найдите расстояние от точки А до плоскости BDC

№3. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости ВСА 1 .

№4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости SCD.

V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия