§5. Экстремум функции

Определение 3 . 3 Пусть -- некоторая функция, -- её область определения и -- некоторый (открытый) интервал (может быть, с и/или ) 7 . Назовём функцию непрерывной на интервале , если непрерывна в любой точке , то есть для любого существует (в сокращённой записи:

Пусть теперь -- (замкнутый) отрезок в . Назовём функцию непрерывной на отрезке , если непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке , то есть

Пример 3 . 13 Рассмотрим функцию (функция Хевисайда ) на отрезке , . Тогда непрерывна на отрезке (несмотря на то, что в точке она имеет разрыв первого рода).

Рис.3.15.График функции Хевисайда

Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов вида и , включая случаи и . Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножества следующим образом. Введём сначала понятие индуцированной на базы: пусть -- база, все окончания которой имеют непустые пересечения с . Обозначим через и рассмотрим множество всех . Нетрудно тогда проверить, что множество будет базой. Тем самым для определены базы , и , где , и -- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки (их определение см. в начале текущей главы).

Определение 3 . 4 Назовём функцию непрерывной на множестве , если

Нетрудно видеть, что тогда при и при это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

Теорема 3 . 5 Пусть и -- функции и -- интервал или отрезок, лежащий в . Пусть и непрерывны на . Тогда функции , , непpеpывны на . Если вдобавок пpи всех , то функция также непpеpывна на .

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

Предложение 3 . 4 Множество всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке -- это линейное пpостpанство:

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Теорема 3 . 6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке , причём и -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что , а .) Тогда существует хотя бы одно такое значение , что (то есть существует хотя бы один корень уравнения ).

Доказательство . Рассмотрим середину отрезка . Тогда либо , либо , либо . В первом случае корень найден: это . В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция принимает значения разных знаков: в случае или в случае . Выбранную половину отрезка обозначим через и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины и , где , и найдём . В случае корень найден; в случае рассматриваем далее отрезок , в случае -- отрезок и т. д.

Рис.3.16.Последовательные деления отрезка пополам

Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень , либо будет построена система вложенных отрезков

в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность -- неубывающая и ограниченная сверху (например, числом ); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел . Последовательность -- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом ); значит, существует предел . Поскольку длины отрезков образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем ), то они стремятся к 0, и , то есть . Положим теперь . Тогда

и

поскольку функция непрерывна. Однако, по построению последовательностей и , и , так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), и , то есть и . Значит, , и -- корень уравнения .

Пример 3 . 14 Рассмотрим функцию на отрезке . Поскольку и -- числа разных знаков, то функция обращается в 0 в некоторой точке интервала . Это означает, что уравнение имеет корень .

Рис.3.17.Графическое представление корня уравнения

Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня , хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это -- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.

Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень -- единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).

Рис.3.18.Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка

Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень -- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.

Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня

Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.

Теорема 3 . 7 (о промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке и (будем для определённости считать, что ). Пусть -- некоторое число, лежащее между и . Тогда существует такая точка , что .

Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение

Доказательство . Рассмотрим вспомогательную функцию , где . Тогда и . Функция , очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка , что . Но это равенство означает, что .

Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда (см. пример 3.13) принимает значения , , но нигде, в том числе и на интервале , не принимает, скажем, промежуточного значения . Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке , лежащей как раз в интервале .

Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества (то есть такого, что при всех и некотором ; число называется нижней гранью множества ) имеется точная нижняя грань , то есть наибольшее из чисел , таких что при всех . Аналогично, если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань : это наименьшая из верхних граней (для которых при всех ).

Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества

Если , то существует невозрастающая последовательность точек , которая стремится к . Точно так же если , то существует неубывающая последовательность точек , которая стремится к .

Если точка принадлежит множеству , то является наименьшим элементом этого множества: ; аналогично, если , то .

Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая

Лемма 3 . 1 Пусть -- непрерывная функция на отрезке , и множество тех точек , в которых (или , или ) не пусто. Тогда в множестве имеется наименьшее значение , такое что при всех .

Рис.3.22.Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение

Доказательство . Поскольку -- ограниченное множество (это часть отрезка ), то оно имеет точную нижнюю грань . Тогда существует невозрастающая последовательность , , такая что при . При этом , по определению множества . Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,

а с другой стороны, вследствие непрерывности функции ,

Значит, , так что точка принадлежит множеству и .

В случае, когда множество задано неравенством , мы имеем при всех и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем

откуда , что означает, что и . Точно так же в случае неравенства переход к пределу в неравенстве даёт

откуда , и .

Теорема 3 . 8 (об ограниченности непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех .

Рис.3.23.Непрерывная на отрезке функция ограничена

Доказательство . Предположим обратное: пусть не ограничена, например, сверху. Тогда все множества , , , не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств имеется наименьшее значение , . Покажем, что

Действительно, . Если какая-либо точка из , например , лежит между и , то

то есть -- промежуточное значение между и . Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка , такая что , и . Но , вопреки предположению о том, что -- наименьшее значение из множества . Отсюда следует, что при всех .

Точно так же далее доказывается, что при всех , при всех , и т. д. Итак, -- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом . Поэтому существует . Из непрерывности функции следует, что существует , но при , так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция ограничена сверху.

Аналогично доказывается, что ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.

Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию

на отрезке . Эта функция не ограничена на отрезке, так как при имеет точку разрыва второго рода, такую что при . Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию на полуинтервале . Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что при .

Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.

Теорема 3 . 9 (о достижении экстремума непрерывной функцией) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует точка , такая что при всех (то есть -- точка минимума: ), и существует точка , такая что при всех (то есть -- точка максимума: ). Иными словами, минимальное и максимальное 8 значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках и этого отрезка.

Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума

Доказательство . Так как по предыдущей теореме функция ограничена на сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на -- число . Тем самым, множества , ,..., ,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения : , . Эти не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):

и ограничены сверху числом . Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел Так как , то и

по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть . Но при всех , и в том числе . Отсюда получается, что , то есть максимум функции достигается в точке .

Аналогично доказывается существование точки минимума.

В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию

на отрезке . Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что ) и , однако значение 1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что , а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке , так что при предел не равен значению функции в точке 0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию на интервале . Очевидно, что функция непрерывна и что и , однако ни значения 0, ни значения 1 функция не принимает ни в какой точке интервала . Рассмотрим также функцию на полуоси . Эта функция непрерывна на , возрастает, принимает своё минимальное значение 0 в точке , но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом и

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке

На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале

На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .

На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

На бесконечности

В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .
2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b .
5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

• на отрезке ;
• на отрезке [-4;-1] .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по :

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1 , x=2 и x=4 :

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1 , а наименьшее значение – при x=2 .

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):

Решение.

Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль:

Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.

Продифференцируем функцию:

Очевидно, производная существует на всей области определения функции.

Найдем стационарные точки. Производная обращается в ноль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3;1] и (-3;2) .

А теперь можно сопоставить полученные в каждом пункте результаты с графиком функции. Синими пунктирными линиями обозначены асимптоты.

На этом можно закончить с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции. Алгоритмы, разобранные в этой статье, позволяют получить результаты при минимуме действий. Однако бывает полезно сначала определить промежутки возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале. Это дает более ясную картину и строгое обоснование результатов.

Непрерывность элементарных функций

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Теорема. Пусть функции u = φ (x ) непрерывна в точке х 0 , а функция y = f (u ) непрерывна в точке u 0 = φ (х 0). Тогда сложная функция f (φ (x )) состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке x 0 .

Теорема. Если функция у = f (х ) непрерывна и строго монотонна на [а ; b ] оси Ох , то обратная функция у = φ (х ) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c ;d ] оси Оу (без доказательства).

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема (Вейерштрасса) . Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Изображенная на рисунке 5 функция у = f (x ) непрерывна на отрезке [а ; b ], принимает свое наибольшее значение М в точке x 1 , а наименьшее m - в точке х 2 . Для любого х [а ; b ] имеет место неравенство m ≤ f (x ) ≤ М .

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема (Больцано - Коши). Если функция у = f (x ) непрерывна на отрезке [a ; b ] и принимает на его концах неравные значения f (a ) = A и f (b ) = =В , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В .

Геометрически теорема очевидна (см. рис. 6).

Для любого числа С , заключенного между А и В , найдется точка с внутри этого отрезка такая, что f (с ) = С . Прямая у = С пересечет график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие. Если функция у = f (x ) непрерывна на отрезке [а ; b ] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а ; b ] найдется хотя бы одна точка с , в которой данная функция f (x ) обращается в нуль: f (с ) = 0.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ox (см. рис. 7).

Рис. 7.

Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т.е. , а в точке b непрерывна слева, т. е.).

Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

• 1) Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса).
• 2) Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего наименьшего значения и наибольшего значения (вторая теорема Вейерштрасса) (см. рис. 2).
• 3) Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что (теорема Больцано-Коши).

Точки разрыва функции и их классификация

функция непрерывность точка отрезок

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции, то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно:

1) Функция определена в окрестности точки, но не определена в самой точке. Так функция, рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке, так как не определена в этой точке.

2) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но, так как, а.

3) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, они равны между собой, но не равны значению функции в точке: . Например, функция. Здесь - точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и, равные между собой, но, т. е. .

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.

Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке.

Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, они равны между собой: , но сама функция не определена в точке, или определена, но.

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (или) не существует или равен бесконечности.

Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б)

Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах, и, так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и. Найдем односторонние пределы функции в точке:

Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции:

Для точки находим.

Определение и формулировки основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении.

Содержание

См. также: Непрерывность функции в точке - свойства и теоремы

Определения и теоремы

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева в точках a и b , соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Легко заметить, что эти определения эквивалентны. Если при ,
, то .
Если , то .

Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале задана функция . На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого всегда можно указать такие числа и , принадлежащие , значения функции от которых будут больше и меньше :
.
На отрезке функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: , а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.

Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции

Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Доказательство

Эта теорема означает, что существуют такие точки и , принадлежащие отрезку : , значения функции в которых равны, соответственно, нижней и верхней граням:
.
Поскольку, исходя из определений верхней и нижней граней:
при ,
при ,
и поскольку , то и являются минимумом и максимумом функции на отрезке .

Вторая теорема Больцано - Коши о промежуточном значении

Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.
непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

См. также: